自然底数 e 的指数函数求导详解
e 的导数示例
比例常数
当我们说某种关系或现象是“指数的”，意味着某量的变化率与该量本身成正比。因此，指数函数的导数等于原函数乘以一个常数（k），该常数代表此比例关系。
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = k a^x$$
比例常数即底数的自然对数：
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = \ln(a)\times a^x$$
当底数为自然数 e 时，ln(e) = 1，故 e^x 的导数即其本身：
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x = e^x$$
“链式”法则
若指数为更复杂的表达式，应用链式法则：对外层指数函数求导，再乘以内层函数的导数。
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$
此技巧可用于评估二极管电流对电压的敏感度。肖克利二极管方程给出二极管两端电压（V_D）与通过电流（I_D）的近似关系：
$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$
（详见“二极管与整流器”页面；注意 I_S 为常数而非变量。）为求电流随电压的变化率，对其求导：
$$\frac{\text{d}I_D}{\text{d}V_D} = \frac{\text{d}}{\text{d}V_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$
因此，在特定 V_D 下，电压的无限小增加会使电流增加 (I_S/0.026) e^{V_D/0.026}。
相关工作表：
- 电路微积分工作表
工业技术