掌握节点电压法进行精确电路分析

节点电压分析法通过建立基于基尔霍夫电流定律（KCL）的方程组来求解电路节点上的未知电压。这种方法看起来可能有些陌生，因为它涉及将电压源转换为等效电流源，并将电阻值（欧姆）转换为电导值（西门子），G = 1/R。西门子（S）是电导单位，取代了已废弃的“摩”单位。总之，S = Ω⁻¹ = 摩（已弃用）。

节点电压计算方法

我们从一个包含常规电压源的电路开始。选择一个公共节点 E₀ 作为参考点。节点电压 E₁ 和 E₂ 相对于该参考点计算。

将电压源及其串联电阻替换为等效电流源与并联电阻，得到修正电路。用西门子单位的电导替换欧姆单位的电阻。

I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S
G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S
G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S
G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S
G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S

并联电导（电阻）可通过电导相加合并。虽然我们不重绘电路，但电路已准备好应用节点电压法。

GA = G1 + G2 = 0.5 S + 0.25 S = 0.75 S
GB = G4 + G5 = 0.2 S + 1 S = 1.2 S

推导通用节点电压法，我们以此一次性写出关于未知节点电压 V₁ 和 V₂ 的 KCL 方程对，以说明通过观察写方程的模式。

GA·E1 + G3(E1 - E2) = I1  (1)
GB·E2 - G3(E1 - E2) = I2  (2)
(GA + G3)E1 - G3·E2 = I1  (1)
-G3·E1 + (GB + G3)E2 = I2  (2)

上述最后一组方程的系数已重排以显示模式。第一个方程中第一个电压的正系数是连接到该节点的电导之和。第二个方程中第二个电压的正系数是连接到该节点的电导之和。第三个电压、第三个方程以此类推。这些系数落在对角线上。所有其他方程的系数均为负，代表节点间电导。第一个方程的第二个系数是节点1到节点2的电导，第三个系数是节点1到节点3的电导。其他方程填入负系数。方程右边是连接到相应节点的电流源。此模式使我们能快速通过观察写出方程。由此得出节点电压分析法的规则。

节点电压法规则：

• 将串联电阻的电压源转换为并联电阻的等效电流源。
• 将电阻值转换为电导值。
• 选择参考节点 (E₀)。
• 为其余节点分配未知电压 (E₁)(E₂)...(Eₙ)。
• 为节点 1,2,...N 各写一个 KCL 方程。第一个方程中第一个电压的正系数是连接到该节点的电导之和。第二个方程中第二个电压的系数是连接到该节点的电导之和。第三个电压、第三个方程以此类推。这些系数落在对角线上。
• 所有方程的其他系数均为负，代表节点间电导。第一个方程的第二个系数是节点1到节点2的电导，第三个系数是节点1到节点3的电导。其他方程填入负系数。
• 方程右边是连接到相应节点的电流源。
• 解方程组得未知节点电压。

节点电压法示例

示例： 利用上图数值建立方程并求解节点电压。

解：

(0.5+0.25+0.4)E1 - (0.4)E2 = 5
-(0.4)E1 + (0.4+0.2+1.0)E2 = -4
(1.15)E1 - (0.4)E2 = 5
-(0.4)E1 + (1.6)E2 = -4
E1 = 3.8095
E2 = -1.5476

两个方程的解可用计算器或 Octave（未显示）求得。基于原始含电压源原理图的 SPICE 仿真验证了该解。当然，含电流源的电路也可仿真。

V1 11 0 DC 10
V2 22 0 DC -4
r1 11 1 2
r2 1 0 4
r3 1 2 2.5
r4 2 0 5
r5 2 22 1
.DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
.print DC V(1) V(2)
.end

v(1) v(2)
3.809524e+00 -1.547619e+00

再举一个三节点例子。我们不在原理图列出电导值。但 G₁ = 1/R₁ 等。

有三个节点需按观察写方程。注意系数为正：方程(1) E₁、方程(2) E₂、方程(3) E₃。这些是连接到各节点的所有电导之和。所有其他系数为负，代表节点间电导。方程右边是相关电流源，节点1处唯一电流源 0.136092 A。其他方程右边为零因无电流源。我们太懒不想算图上电阻电导。因此下标 G 为系数。

(G1 + G2)E1 - G1·E2 - G2·E3 = 0.136092
-G1·E1 + (G1 + G3 + G4)E2 - G3·E3 = 0
-G2·E1 - G3·E2 + (G2 + G3 + G5)E3 = 0

我们太懒了，直接把倒数电阻和倒数电阻和输入 Octave "A" 矩阵，让 Octave 在 "A=" 后计算电导矩阵。初始输入行太长分成三行。这与前例不同。输入的 "A" 矩阵用方括号界定。列元素空格分隔。行用"新行"分隔。不需要逗号分号作分隔。不过 "b" 处电流向量用分号分隔以得列向量。

octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000

octave:13> b = [0.136092;0;0]
b =
0.13609
0.00000
0.00000

octave:14> x=A\b
x =
24.000
17.655
19.310

注意 "A" 矩阵对角系数为正，所有其他系数为负。

解作为电压向量在 "x" 处。E₁ = 24.000 V，E₂ = 17.655 V，E₃ = 19.310 V。这三电压与之前网孔电流和 SPICE 对不平衡电桥问题的解一致。这非巧合，因 0.13609 A 电流源特意选取以产生该问题中用作电压源的 24 V。

总结

• 给定电导与电流源网络，节点电压法通过 KCL 方程求解未知节点电压。
• 详见上述规则以通过观察写方程细节。
• 电导 G 单位为西门子 S。电导是电阻倒数：G = 1/R

相关练习册：

• 精密二极管电路练习册
•  基尔霍夫定律练习册