平面纳米孔板上双连续谱束缚态实现高品质因数双频带法诺共振

摘要

在光子学中，实现高品质因数（Q因数）共振对提升光学器件性能至关重要。本文演示：基于平面纳米孔板（PNS）激发双连续谱束缚态（BICs），可实现高Q因数双频带法诺共振。通过收缩或扩展PNS超晶格的四聚体孔洞，可诱导两个对称性保护BICs转变为双频带法诺共振，其位置及Q因数可灵活调控。基于远场多极分解和超晶格近场分布，物理机制可解释为电环面偶极子或磁环面偶极子的谐振耦合。PNS双频带法诺共振具偏振无关特性，即使几何参数显著改变仍存活，更适合潜在应用。

引言

增强光物质相互作用对提升光学器件性能意义重大，可通过高Q因数响应实现[1]。法诺共振以不对称线型和尖锐谱线轮廓为特征，为光学超材料高Q因数提供有效途径，备受关注[2]。过去十年，法诺共振在等离子体纳米结构启用的多种纳米振子系统中报道[3,4]，由金属-介质界面表面等离子体谐振激发。虽金属超材料是光操控有前景候选，但可见至近红外（NIR）波段等离子体超材料法诺共振典型受金属本征欧姆损耗限制，Q因数低。

另一方面，全介质超材料提供类似等离子体超材料的强米氏型谐振（感应位移电流），但在可见至NIR范围损耗更小[5]。入射光能量可高度定域在介质纳米结构中，因电/磁偶极子谐振激发，减少耗散损耗并实现电磁场大谐振增强。近年来，连续谱束缚态（BICs）作为全介质超材料实现高Q因数响应最有前景方案涌现[6,7]。BICs处于延伸态连续谱内却反直觉地完美空间定域、理论无限寿命[8,9]。虽BICs因非辐射特性不可从连续谱观测，但BICs转变为准BICs（QBICs）可实现高Q因数法诺共振[10,11]，潜在应用包括定向激光[12]、光学滤波器[13]、非线性频率转换[14]、超灵敏传感[15,16]、光涡旋束[17]。

通常BICs形成与光子结构对称性（平面内和垂直对称性）强相关，因其干涉本质。特别地，BICs可经斜入射或对称性破缺纳米结构扰动，辐射通道在本征态与自由空间间打开时实现QBICs[18,19]。然而，多数用于激发高Q因数QBICs的介质纳米结构复杂，如不对称纳米十字[20]、纳米环[21]、纳米棒[22-24]、纳米杆[25-28]，制造挑战大，因需在光子结构中插入深亚波长狭缝[20-24]或纳米孔[25-28]。其他如重塑矩形棒[29,30]锐边增加，难通过常规光刻精准制造，因开启额外泄漏通道降低Q因数和谐振寿命[31,32]。倾斜纳米棒[33,34]在纳米制造中难精确控制取向并保持深亚波长共振器间距。应用中，用结构较简单的纳米结构平面板[35-38]实现BICs和高Q因数法诺共振更有意义。此外，多重法诺共振在增强多频带谐波生成[39]、多通道传感[40]、发光[41]等应用极有用。因此，基于激发QBICs用相对简单架构实现高Q因数多重法诺共振具有显著益处。

本工作提出由四聚体孔洞组成的新型平面纳米孔板（PNS）实现高Q因数双频带法诺共振。通过沿超晶格对角线收缩或扩展四聚体孔洞，激发两个QBICs，两个法诺共振位置及Q因数可灵活调控。通过超晶格远场多极分解和近场分布揭示PNS谐振特征，表明双频带法诺共振源于电环面偶极子或磁环面偶极子的谐振耦合。PNS双频带法诺共振具偏振无关特性，即使几何参数显著改变仍存活，更适合潜在应用。

方法

晶格结构与设计

图1展示拟议PNS示意几何及透射谱。PNS由四个纳米孔组成，可沿超晶格对角线收缩（Δ<0）或扩展（Δ>0），位移距离Δ。Δ=0对应周期减半的简单晶格，每个纳米孔位于超晶格四分之一区域中心。PNS周期和高度分别为Λ和H；纳米孔半径r。PNS折射率nₛ=3.2，背景为空气nₐ=1。图1c显示Δ函数下PNS透射谱，正入射x偏振光照明。本文PNS谱及电磁场分布用COMSOL Multiphysics有限元商业软件计算。图1c显示Δ=0非收缩PNS无法诺共振。但微微收缩或扩展纳米孔可获得两个100%调制深度（定义为法诺峰与谷透射差）法诺共振。对比非收缩PNS透射响应，收缩PNS响应剧烈变化而旁带基本不变。

为清晰展示四聚体孔洞收缩/扩展引起的双频带法诺共振演化，图2a显示Δ函数下PNS透射二维图。图2a显示感兴趣波长区Δ=0处出现两个BICs，双BICs类似现象前见于双光栅超膜[13]和劈环谐振器[21]。Δ≠0时，PNS对称性从简单晶格中心对称破缺为超晶格四重旋转（C₄）对称性，BICs诱导为QBICs实现双频带法诺共振。此外，因四聚体孔洞沿超晶格对角线收缩/扩展保持PNS C₄对称性，|Δ|相同时透射谱相同。原则上，四聚体孔洞收缩/扩展缩小PNS第一布里渊区面积，单元胞从简单晶格变为超晶格，面扰动及布里渊区折叠引入可在正入射激发对称性保护BIC[42,43]。通常，基于微扰理论[21]，对称性保护BIC Q因数对不对称度δ呈反平方依赖：

$$Q_{fit} = \kappa \cdot \frac{cS}{{\omega \cdot \delta^{2} }}, \quad (1)$$

其中κ比例常数，S超晶格面积，ω角频率，不对称参数\(\delta = \sqrt{2} \Delta / \Lambda\)。

图2b、c显示Fano#1和Fano#2 Q因数及拟合结果。PNS Q因数计算为谐振波长λᵣ与半高全宽（FWHM）Δλ之比，Δλ为法诺共振峰谷间波长区域。拟合结果用公式(1)计算。图2b、c显示PNS发散轨迹在Δ=0处Q因数发散至无穷大，用反平方关系拟合数据验证。获得优异拟合结果，较大不对称处微小分歧源于公式(1)微小微扰假设偏差。PNS显著优势在于可通过收缩/扩展四聚体孔洞裁剪双频带法诺共振位置和Q因数，便于动态控制高Q因数多重法诺共振谐振性能。

物理机制与解释

为洞察PNS四聚体孔洞收缩/扩展产生双频带法诺共振起源，将BIC和法诺共振远场辐射分解为不同多极子分量贡献以进一步讨论特征。多极矩基于PNS超晶格位移电流密度j计算[26,44,45]：

$${\varvec{P}} = \frac{1}{i\omega }\int {{\varvec{j}}d^{3} r} , \quad (2)$$ $${\varvec{M}} = \frac{1}{2c}\int {\left( {{\varvec{r}} \times {\varvec{j}}} \right)d^{3} r} , \quad (3)$$ $${\varvec{T}} = \frac{1}{10c}\int {\left[ {\left( {{\varvec{r}} \cdot {\varvec{j}}} \right){\varvec{r}} - 2r^{2} {\varvec{j}}} \right]} d^{3} r, \quad (4)$$ $${\varvec{Q}}_{\alpha ,\beta }^{\left( e \right)} = \frac{1}{i2\omega }\int {\left[ {r_{\alpha } j_{\beta } + r_{\beta } j_{\alpha } - \frac{2}{3}\left( {{\varvec{r}} \cdot {\varvec{j}}} \right)}\delta _{\alpha ,\beta }\right]} d^{3} r \quad (5)$$ $${\varvec{Q}}_{\alpha ,\beta }^{\left( m \right)} = \frac{1}{3c}\int {\left[ {\left( {{\varvec{r}} \times {\varvec{j}}} \right)_{\alpha } r_{\beta } + \left( {{\varvec{r}} \times {\varvec{j}}} \right)_{\beta } r_{\alpha } } \right]d^{3} r} , \quad (6)$$

其中P、M、T、Q^(e)、Q^(m)分别为电偶极子（ED）、磁偶极子（MD）、环面偶极子（TD）、电四极子（EQ）、磁四极子（MQ）矩；c为真空光速，α、β=x、y、z。此处电荷密度ρ（通常现于ED和MQ定义）通过电荷守恒关系\(i\omega \rho + \nabla \cdot {\varvec{j}} = 0\)用位移电流密度j替代。谐波激发~exp(iωt)下，感应多极矩对远场响应贡献的散射功率可写为：

$$\begin{aligned} I &= \frac{{2\omega^{4} }}{{3c^{3} }}\left| {\varvec{P}} \right|^{2} + \frac{{2\omega^{4} }}{{3c^{3} }}\left| {\varvec{M}} \right|^{2} + \frac{{2\omega^{6} }}{{3c^{5} }}\left| {\varvec{T}} \right|^{2} + \frac{{\omega^{6} }}{{5c^{5} }}\sum\limits_{\alpha ,\beta } {\left| {{\varvec{Q}}_{\alpha ,\beta }^{\left( e \right)} } \right|}^{2} \\ &\quad+ \frac{{\omega^{6} }}{{20c^{5} }}\sum\limits_{\alpha ,\beta } {\left| {{\varvec{Q}}_{\alpha ,\beta }^{\left( m \right)} } \right|}^{2} + {\text{o}}(\omega), \end{aligned} \quad (7)$$

前两项对应常规ED（电荷）和MD散射。第三项对应TD散射。第四、五项来自EQ和MQ。最后项为包含高阶多极散射及其耦合的高阶项，通常可忽略。用公式(2)-(7)可获得不同多极子对远场散射功率贡献。

图3展示不同Δ下PNS不同多极子散射功率，其他参数同图1c。图3a-d显示Δ=0时ED和MD为优势偶极子，在感兴趣波长区无谐振。但|Δ|≠0收缩/扩展纳米孔时，谐振偶极模式激发实现双频带法诺共振。为清晰看到谐振偶极模式在观测双频带法诺共振中重要作用，图3e、f显示Δ=-28 nm下Fano#1和Fano#2附近不同多极子归一化散射功率。图3e显示Fano#1周围优势谐振模式为ED和TD，Fano#1为电环面偶极子谐振耦合直接后果。特别地，ED和TD在Fano#1谐振峰（918.5 nm）强增强至可比幅度，故ED和TD破坏性干涉可得100%透射。而Fano#1谐振谷（916.5 nm）反射最大、透射为零因ED和TD散射增强。类似地，图3f显示Fano#2源于磁环面偶极子谐振耦合，其峰（771.1 nm）指示MD和TD破坏性干涉，谷（772.9 nm）关联MD和TD散射增强。注意因电环面偶极子或磁环面偶极子强耦合，Fano#1和Fano#2谐振模式对Δ变化均鲁棒。

为关联双频带法诺共振远场透射响应与感应多极矩激发，展示PNS超晶格法诺共振电磁场和位移电流分布（图4）。图4a、b显示Fano#1电场良好限域在PNS超晶格，位移电流沿x轴，指示ED谐振模式。此外，Fano#1位移电流在超晶格中心和边缘间形成两反向环路，磁场在yz平面形成环路，对应x轴向TD谐振模式[44,46]。因此Fano#1源于ED和TD模式谐振耦合，与上述多极分解预测一致。事实上，因Fano#1电环面偶极子谐振特征，其谐振峰（918.5 nm）、中心波长（917.5 nm）、谐振谷（916.5 nm）电磁场和位移电流分布近乎相同，仅场幅度略有差异（附件Fig.S1）。Fano#2情况下，图4c显示电场强增强，位移电流在超晶列中心和相邻超晶格间形成两反向环路，指示z轴向TD谐振模式。此外，图4d显示Fano#2磁场高度定域在超晶格沿y轴方向，呈现MD谐振模式。结果Fano#2为磁环面偶极子谐振耦合直接后果，符合PNS远场多极分解预测。同样，因Fano#2磁环面偶极子耦合，其谐振峰（771.1 nm）、中心波长（772.0 nm）、谐振谷（772.9 nm）电磁场和位移电流分布呈相似分布（附件Fig.S2）。

结果与讨论

图5展示纳米孔半径r函数下PNS透射谱，其他参数同图1c，Δ=-28 nm。图5a显示r从0变至最大67.5 nm（即四聚体孔洞在超晶格相切）时双频带法诺共振维持。增大r增加PNS表面扰动并降低有效折射率（ERI），导致Q因数增加和法诺共振蓝移。具体Fano#1谐振位置对r变化更敏感，四聚体孔洞相互靠近时双频带法诺共振趋向合并为单一谐振模式。图5b显示增大r不仅蓝移谐振位置也增宽FWHM。r从25增至45 nm时，Fano#1和Fano#2谐振峰分别从936.7 nm和793.2 nm蓝移至887.6 nm和743.8 nm；FWHM分别从0.8 nm和0.6 nm增至6.8 nm和3.1 nm。注意增大r也改善法诺共振调制深度，r>30 nm可实现100%调制深度。此外，评估PNS结构参数对法诺峰波长偏移影响显示纳米孔半径r对Fano#1和Fano#2均最敏感（附件Fig.S3）。因此r变化提供动态控制PNS双频带法诺共振谐振性能有效途径。

图6展示结构对称性对PNS透射响应影响，两纳米孔半径r'从零变至相切，其他参数同图1c，Δ=-28 nm。图6a显示超晶格沿x轴（入射光电场方向）保持镜像对称时，随r'增加双频带法诺共振谐振位置因ERI降低蓝移，带宽因表面扰动增加展宽。然而图6b显示，虽两法诺共振随r'增加维持，但打破超晶格沿x轴镜像对称时将出现两个额外法诺共振。通常打破x（y）轴结构对称性也打破周期性晶格x（y）轴模式对称性，非辐射非简并模式因简并分量能耦合至外部辐射[47]。因此额外两法诺共振仅存在于沿x轴镜像对称破缺结构表明其源于受扰非简并模式。

进一步表征入射角和偏振角影响下PNS谐振性能。图7a显示PNS双频带法诺共振因C₄对称拓扑对偏振角变化免疫。偏振角0至90°（x偏振至y偏振）变化时Fano#1和Fano#2保持不变。但入射角情况下（图7b），虽Fano#1也不敏感入射角变化，Fano#2随入射角偏离正入射红移，并因对称性保护BIC辐射衰减抑制在非正入射取消而出现额外法诺共振（Fano#3）。通常此类BIC辐射衰减抑制与周期性晶格带隙两边缘两个逆向传播泄漏模式发射辐射场破坏性干涉密切相关[48]。注意因Fano#2和Fano#3强耦合，其邻域可激发窄诱导透明窗口。

最后展示增加PNS板高H可获得多重法诺共振。图8显示非收缩（Δ=0 nm）和收缩（Δ=-28 nm）结构下H函数PNS透射二维图。图8a显示非收缩PNS随H变化除法布里-珀罗（F-P）共振外无法诺共振。据F-P理论，非收缩PNS F-P腔谐振条件为：

$$\delta = (2\pi /\lambda ) \cdot H \cdot n_{eff} + \varphi = m\pi , \quad (8)$$

其中δ相移，λ自由空间波长，n_eff PNS等效均质板ERI，φ附加相位，m指示谐振阶数整数。用有效介质理论[49]估算PNS ERI：

$$n_{eff} = \sqrt {\frac{{\left[ {\left( {1 - f} \right)n_{a}^{2} + fn_{s}^{2} } \right]\left[ {fn_{a}^{2} + \left( {1 - f} \right)n_{s}^{2} } \right] + n_{s}^{2} }}{{2\left[ {fn_{a}^{2} + \left( {1 - f} \right)n_{s}^{2} } \right]}}} , \quad (9)$$

其中f为PNS填充因子，f=1-4π(r/Λ)²。

用公式(8)(9)计算非收缩PNS F-P共振位置λ_F-P=2π·H·n_eff/(mπ-φ)。计算中附加相位φ虽非恒定（明显影响相移δ），但可用线性拟合法确定值[50,51]。图8a显示Δ=0 nm PNS透射二维图，F-P腔模型结果白虚线标示。图8a显示F-P腔模型白虚线与PNS透射峰重合，确认感兴趣谱区非收缩PNS透射增强源于F-P共振。然而图8b显示收缩PNS（Δ=-24 nm）随H在100-400 nm变化激发五个高Q因数法诺共振并与F-P共振共存，法诺共振强到在法诺与F-P共振交叉区分裂F-P共振。据板波导理论，增加光子晶体板厚度确保更多泄漏模式束缚结构中[32,52]；因此仅增加PNS厚度即可增加高Q因数法诺共振数。注意四聚体孔洞位移不改变PNS ERI，故非收缩和收缩结构F-P共振位置近乎相同。

结论

基于激发双QBICs，利用相对简单PNS架构可实现高Q因数双频带法诺共振。通过沿超晶格对角线收缩或扩展四纳米孔，两个对称性保护BICs可转变为双频带法诺共振，其位置及Q因数可灵活调控。PNS双频带法诺共振源于电环面偶极子或磁环面偶极子谐振耦合，远场多极分解与超晶格近场分布间相关性获验证。PNS双频带法诺共振具偏振无关特性，高Q因数特征对几何参数变化鲁棒。增加PNS高度可提升高Q因数法诺共振数，因结构支持更多泄漏模式。我们的结果为实现高性能高Q因数谐振器提供更多调控自由度，可进一步推动激光、传感和非线性光子学发展。

数据与材料可用性

当前研究使用/分析的数据集可经通讯作者合理请求获取。

缩略语

Q-factor:

品质因数

PNS:

平面纳米孔板

BICs:

连续谱束缚态

NIR:

近红外

QBICs:

准BICs

FWHM:

半高全宽

ED:

电偶极子

MD:

磁偶极子

TD:

环面偶极子

EQ:

电四极子

MQ:

磁四极子

ERI:

有效折射率

F-P:

法布里-珀罗