布尔代数简介

数学规则基于我们对所处理的特定数值量的定义限制。

当我们说 1 + 1 =2 或 3 + 4 =7 时，我们是在暗示使用整数：与我们在小学教育中都学会计算的相同类型的数字。

大多数人认为是不言自明的算术规则——在任何时候和所有目的都有效——实际上取决于我们对数字的定义。

例如，在计算交流电路中的数量时，我们发现在直流电路分析中非常有用的“实数”数量不足以表示交流数量的任务。

我们知道串联连接时电压会增加，但我们也知道可以将 3 伏交流电源与 4 伏交流电源串联并最终得到 5 伏的总电压 (3 + 4 =5) .

这是否意味着违反了不可侵犯且不言自明的算术规则？

不，这只是意味着“实”数规则不适用于交流电路中遇到的各种量，其中每个变量都有幅度和相位。

因此，对于交流电路（复杂 数字，而不是真实 数字），伴随着这种不同的数字系统而来的是一套不同的规则，告诉我们它们是如何相互关联的。

一个表达式，例如 “3 + 4 =5” 在实数的范围和定义中是无稽之谈，但它非常适合复数的范围和定义（想想一个直角三角形，其对边和相邻边分别为 3 和 4，斜边为 5）。

由于复数是二维的，因此它们能够以三角函数的形式相互“加”为一维实数 数字不能。

数学定律和“模糊逻辑”

逻辑在这方面很像数学：所谓的逻辑“定律”取决于我们如何定义一个命题。

希腊哲学家亚里士多德建立了一个仅基于两种命题的逻辑系统：真假。

他对真理的二元（两种模式）定义导致了逻辑的四个基本定律：同一性定律 （A 是 A）； 不矛盾律 （A 不是非 A）； 排中间律 （A 或非 A）；和理性推理法则 .

这些所谓的定律在逻辑范围内起作用，其中一个命题仅限于两个可能值之一，但可能不适用于命题可以包含“真”或“假”以外的值的情况。

事实上，在“多值”或模糊方面已经做了很多工作，并将继续进行。 逻辑，其中命题可能在一定程度上是真或假的 .

在这样的逻辑体系中，像排中律这样的“律”根本不适用，因为它们是建立在二价假设之上的。

同样，许多违反亚里士多德逻辑中不矛盾律的前提在“模糊”逻辑中也有效。同样，命题价值的定义界限决定了描述它们的功能和关系的法则。

布尔代数的诞生

英国数学家乔治·布尔（George Boole，1815-1864）试图为亚里士多德的逻辑系统赋予符号形式。

布尔在 1854 年写了一篇关于这个主题的论文，题为对思想定律的调查，其基础是逻辑和概率的数学理论 ，其中规定了数学量之间的关系规则，仅限于以下两个可能值之一：真或假、1 或 0。

他的数学系统被称为布尔代数。

使用布尔量执行的所有算术运算只有两种可能结果之一：1 或 0 .

没有“2 ”或“-1 ”或“1/2 ”在布尔世界中。这是一个所有其他可能性都被法令无效的世界。

正如人们可能猜到的那样，在平衡支票簿或计算通过电阻器的电流时，这不是您想要使用的那种数学。

然而，麻省理工学院的 Claude Shannon 认识到如何将布尔代数应用于开关电路 ，其中所有信号都被表征为“high ” (1) 或“低 ” (0).

他 1938 年的论文题为 继电器和开关电路的符号分析 ，以布尔从未想象过的方式使用布尔的理论工作，为我们设计和分析数字电路提供了强大的数学工具。

布尔代数与“普通代数”

在本章中，您会发现布尔代数和“普通”代数（一种涉及所谓实数的代数）之间有很多相似之处。

请记住，定义布尔代数的数字系统在范围方面受到严重限制，并且任何布尔变量只能有两个可能值之一：1 或 0。

因此，布尔代数的“定律”往往与实数代数的“定律”不同，使得 1 + 1 =1 这样的陈述成为可能，这通常被认为是荒谬的。

一旦理解了布尔代数中所有量的前提仅限于 1 和 0 两种可能，以及定律依赖于数量定义的一般哲学原理，布尔代数的“废话”就消失了。

布尔代数与“普通代数”

在本章中，您会发现布尔代数和“普通”代数（一种涉及所谓实数的代数）之间有很多相似之处。

请记住，定义布尔代数的数字系统在范围方面受到严重限制，并且任何布尔变量只能有两个可能值之一：1 或 0。

因此，布尔代数的“定律”往往与实数代数的“定律”不同，使得 1 + 1 =1 这样的陈述成为可能，这通常被认为是荒谬的。

一旦理解了布尔代数中所有量的前提仅限于 1 和 0 两种可能，以及定律依赖于数量定义的一般哲学原理，布尔代数的“废话”就消失了。

布尔数与二进制数

应该清楚地理解布尔数与二进制不同 数字。

布尔数代表与实数完全不同的数学体系，而二进制只不过是实数的另一种表示法。

这两者经常混淆，因为布尔数学和二进制符号都使用相同的两个密码：1 和 0。

不同之处在于布尔量仅限于单个位（1 或 0），而二进制数可能由许多位组成，以位置加权的形式相加为任意有限大小的值。

二进制数 100112（“十九”）在布尔世界中的地位不亚于十进制数 210（“二”）或八进制数 328（“二十六”）。

相关工作表：

• 布尔代数工作表
• 电路基本代数和绘图工作表
• 二进制数学工作表