德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

作为布尔代数的基石概念，德摩根定理揭示了逻辑门在输入或输出取反时的行为关联。这套以数学家奥古斯都·德摩根命名的规则，使工程师能将与、或、与非、或非门相互转换，从而简化逻辑表达式和物理电路设计。

在布尔代数中，“群体补码”用横跨多变量的长横杠表示，意为整个乘积或求和被取反。这与仅能取反单个变量的撇号（'）不同。例如，(AB)^′ 不等于 A′B′；括号必须用于指明横杠作用于整个乘积。

当门的所有输入均被取反时，门的核心功能会翻转：全输入取反的或门等同于与非门，全输入取反的与门等同于或非门。德摩根定理将这一观察形式化：取反门的输出，等效于切换门类型并取反其输入。

以下为核心等价的直观图示：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

当布尔表达式中的长横杠被“打断”时，断点正下方的运算会反转——加法变乘法、乘法变加法——而断开的横杠碎片保留在各变量上方。这一微妙规则支配着表达式的化简过程。

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

面对多层横杠的表达式，最稳妥的策略是优先打断最长、最上层的横杠。试图同时打断两条横杠会导致错误结果。

例如，化简 (A + (BC)′)′ 步骤如下：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

首先打断最外层横杠：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

得到一个 A 输入取反的三输入与门。

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

切勿在单步中打断多条横杠：

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也可先打断较短的内层横杠，但需额外步骤：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

注意：单步中在多处打断同一横杠是允许的；限制仅针对同时打断多条不同横杠。

括号至关重要，因为横杠本身就是分组符号。打断横杠后，分组项必须保持在一起以维持正确的运算优先级。

请看演示正确分组重要性的表达式：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

现在将德摩根定理应用于实际门电路。第一步是给每个门输出标号，将电路转为布尔表达式：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

系统地写出第一个或非门与与非门的输出，确保不漏掉补码横杠——将取反前的表达式与最终取反输出分开书写：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

最后写出最后一个或非门的输出：

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利用布尔恒等式和德摩根定理化简表达式，得到精简形式：

德摩根定理：掌握布尔补码与门等价变换

等价的化简电路如下：

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