串联电阻-电感交流电路分析：阻抗、相位与 SPICE 验证

前节我们研究了纯电阻和纯电感交流电路。现在将两者串联，探讨电阻与电抗如何相互作用并塑造整体电路行为。

串联电阻-电感电路示例

考虑下面的原理图：

串联电阻-电感电路：电流滞后于施加电压 0° 到 90° 之间。

电阻在所有频率下提供固定的 5 Ω 电阻，而电感在 60 Hz 下贡献 3.7699 Ω 感性电抗。因电阻的阻碍纯实数（5 Ω ∠ 0°），电感的阻碍纯虚数（3.7699 Ω ∠ 90°），它们的综合效应是一个复数和，称为阻抗。

阻抗用 Z 表示，单位也是欧姆，但它同时包含幅值和相位信息。

总电路阻抗因此为：

交流中的电阻与欧姆定律

阻抗像直流电路中的电阻一样关联电压和电流：

这种欧姆定律的推广适用于任何交流网络，无论元件是电阻性、电感性还是组合。对于串联或并联排列，我们将整组元件视为单一阻抗。

为求解电流，我们首先为电压源建立相位参照，习惯取 0°。电阻两端电压与其电流同相（0° 偏移），而电感两端电压超前其电流 90°。

在该混合电路中，总电流滞后电源电压仅 37.016°，远小于纯感性电路的 90° 滞后。

串联 L-R 电路中电流滞后电压。

数学上，每个元件上的电压反映其与电流的个别相位关系：

电阻电压与电流同相，确认两者同相。相反，电感电压与其电流相差 90°：

基尔霍夫电压定律重访

基尔霍夫电压定律（KVL）对复数量同样成立：

SPICE 验证

我们用 SPICE 验证解析结果：

SPICE 电路：R-L

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 7.985E+00 6.020E+00 1.597E+00
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 -3.702E+01 5.298E+01 1.430E+00

SPICE 报告的电流相对电源有 180° 偏移，这是一种约定，不影响结果的物理解释。电阻和电感电压的相位角与我们的解析预测（-37.02° 和 52.98°）匹配。

为简化计算过程，我们采用表格法。表格列出每个元件的矩形和极坐标形式阻抗，然后求和得到总阻抗。使用欧姆定律（I = E/Z）计算共同的串联电流，随后确定各电压降。

下面是表格法示意图（为简洁起见简化）：

因电路为串联，相同电流流过每个元件。得到总电流后，将其乘以各元件阻抗获得对应电压降。此方法镜像直流方法，但需复数运算。

交流分析中所有量必须用复数表示；忽略相位会导致错误结果。一旦正确考虑相位，分析技术本质上与直流电路分析相同。

仪表读数（如电压表或电流表值）对应复数相量的幅值（极坐标表示）。例如，电阻两端电压表读 7.9847 V，而非矩形分量 6.3756 V + j4.8071 V。

总结：

• 阻抗（Z）是电阻（R）和电抗（X）的复数和。
• 串联阻抗代数相加：Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ。
• 纯电阻阻抗相位为 0°，纯感性阻抗相位为 +90°。
• 交流欧姆定律：E = IZ, I = E/Z, Z = E/I。
• 混合 R-L 电路中，阻抗相位介于 0° 和 +90° 之间，电流相位介于 0° 和 –90° 之间。
• 串联交流电路遵循与直流相同规则：电流均一、电压降相加、阻抗相加。

示例：60 Hz 下 40 Ω 电阻串联 79.58 mH 电感。

• X_L = 2πfL = 30 Ω。
• Z = R + jX_L = 40 + j30 Ω。
• |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω。
• ∠Z = arctan(30/40) = 36.87°。
• Z = 50 Ω ∠ 36.87°。

复习

• 阻抗以复数量化总电流阻碍。
• 串联阻抗直接相加；计算必须用复数形式。
• 纯电阻或感性元件具有固定相位角。
• 欧姆定律通过复数阻抗推广至交流电路。
• 混合电路呈现中间相位角。
• 串联交流电路镜像直流基础。

相关工作表

• 电感工作表
• 电阻、电抗与阻抗工作表
• 感性电抗工作表