理解方波信号：基础与应用

已发现任何重复非正弦波形均可等价为不同幅值频率的直流电压、正弦波、余弦波（相移 90° 正弦波）组合。

无论波形多怪异复杂，只要随时间规律重复，均可归约为此正弦波级数。

特别地，方波数学等价于同频正弦波加无限奇次谐波正弦波（幅值递减）之和：

此波形真理初似难信。然而若方波实为无限正弦谐波叠加，我们理应能通过叠加若干正弦谐波逼近方波来证明。

此推理不仅合理，且易用 SPICE 演示。

仿真电路仅将幅值频率适当的若干正弦波交流电压源串联。用 SPICE 绘制逐次加源后波形：

方波由谐波叠加逼近。

本 SPICE 仿真将 1、3、5、7、9 次谐波电压源串联，共五交流电压源。基波 50 Hz，各谐波当然为该频率整数倍。

幅值(电压)非随机数；按频率级数方程得出（分数 4/π 乘 1, 1/3, 1/5, 1/7 等对应递增奇次谐波）。

building a squarewave
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + . . . + 9th harmonics
.end

逐步叙述分析。首图见 50 Hz 基波正弦波。纯正弦形，无额外谐波。这是理想交流电源波形：

纯 50 Hz 正弦波。

加三次谐波(150 Hz)后，不再像纯正弦波：

1次(50 Hz)和3次(150 Hz)谐波和逼近50Hz方波。

上升下降沿陡峭得多，波峰更接近方波平坦。加五次谐波：

1、3、5次谐波和逼近方波。

波峰更平坦。波两端仍有多小抖动，但幅值比前更小。加七次谐波：

1、3、5、7次谐波和逼近方波。

波峰更平。最后加九次谐波，第五正弦源，得：

1、3、5、7、9次谐波和逼近方波。

前五奇谐波按正确幅值叠加得方波近似。此举旨在说明方波实等价于正弦波级数。

方波交流电压施加于含无功元件(电容电感)电路时，这些元件反应如暴露于不同频率多正弦电压，事实正是如此。

重复非正弦波等价于确定的直流、正弦、余弦波加性级数，是波如何工作的基本属性，电气或非电气皆然。

将非正弦波分解为这些成分频率的数学过程称傅里叶分析，细节远超本文范围。但计算机算法已能高速对实测波形执行此分析，在交流电能质量和信号分析中广泛应用。

SPICE 能采样波形并用傅里叶变换算法分解为成分正弦谐波，输出频率分析数表。试在已知由奇次谐波组成的方波上应用：

squarewave analysis netlist
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end

netlist 中描述电压源 v1 的 pulse 选项指示 SPICE 仿真方形“脉冲”波形，本例对称(半周期等时)峰值 1 伏。先绘制被分析方波：

SPICE 傅里叶分析方波

打印 SPICE 生成方波傅里叶分析：

fourier components of transient response v(1)
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

傅里叶分析结果绘图。

此处(上图) SPICE 将波形分解为九次谐波正弦频谱，加标记 DC component 小直流电压。

我须告知 SPICE 基波频率(20ms 周期方波频率 50 Hz)，以便分类谐波。注意偶次谐波(2、4、6、8)数值极小，奇次谐波幅值递减(1次最大、9次最小)。

此“傅里叶变换”技术常用于计算机电力仪表，采样交流波形确定谐波含量。常用算法为快速傅里叶变换(FFT)。

无需关心这些计算机例程细节，但知晓其存在与应用。

SPICE 分析波形谐波含量的同一数学技术可用于音乐技术分析：将特定声音分解为成分正弦频率。

事实上，您可能已见专为此设计却未意识到的设备！图形均衡器是控制(有时显示)音乐谐波含量的高保真立体声设备。

配多旋钮或滑杆，均衡器可选择衰减(降低)音乐中特定频率幅值，为听众“定制”声音。通常每控制杆旁有“条形图”显示各特定频率幅值。

Hi-Fi 音频图形均衡器。

严格显示—不控制—混频信号各频段幅值设备通常称频谱分析仪。

频谱分析仪设计可简单如“滤波”电路组(见下章)分离不同频率，或复杂如专用数字计算机跑 FFT 算法数学分解信号谐波分量。

频谱分析仪常设计分析极高频信号，如无线电发射机、计算机网络硬件产生信号。此形态常似示波器：

频谱分析仪显示幅值随频率函数。

像示波器，频谱分析仪用 CRT(或模拟 CRT 计算机显示)绘制信号图。

不同于示波器，此图为幅值随频率而非时间。本质上频率分析仪给操作员信号波特图：工程师称频域而非时域分析。

“域”系数学术语：描述图表横轴的复杂词汇。故示波器幅值(纵)对时间(横)为“时域”分析，频谱分析仪幅值(纵)对频率(横)为“频域”分析。

用 SPICE 绘制信号幅值(电压或电流幅值)随频率范围，即执行频域分析。

请注意上次 SPICE 仿真傅里叶分析非“完美”。理想偶次谐波幅值应绝对零，直流分量亦然。这非 SPICE 怪癖，乃波形一般属性。

无限持续波形(无限周期)可绝对精度分析，可供计算机分析周期越少，分析越不精确。仅有描述波形全貌方程时，傅里叶分析才能归约为确定正弦波级数。

波周期越少，频率分量越不确定。推至极致，短脉冲—甚至未完成一周期波形—实无频率，而作无限频率范围。此原理普适所有波动现象，非仅交流电压电流。

周期数与波形频率分量确定性成正比。

通过让波振荡更多周期可提高分析精度，结果更符合理想。下次分析为简洁省略波形图—只是很长方波：

square wave
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.option limpts=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end
fourier components of transient response v(1)
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

改进傅里叶分析。

注意此分析(上图)显示更小直流分量、更低偶次谐波幅值，全因让计算机采样更多波周期。再次，首次分析不精确非 SPICE 缺陷，乃波与信号分析基本属性。

复习

• 方波等价于同(基波)频率正弦波加无限奇次正弦谐波(幅值递减)级数。
• 计算机算法能采样波形确定成分正弦分量。傅里叶变换算法(特快速傅里叶变换 FFT)常用于 SPICE 等电路仿真程序和电子测量设备判定电能质量。

相关工作表

• 方波信号工作表