基于分阶微分模型的超级电容器能量精准估算
摘要
本文提出利用超级电容器端子电压测量估算积累能量的新结果。为此，开展基于超级电容器充放电电路分阶阶模型的参数估计研究。模型参数估计用于评估超级电容器积累能量。所得结果与通过测量端子电压和电流实验确定的能量对比。所有测试针对各种输入信号形状和参数重复。估算与实验结果高度一致，充分验证所提方法适用性，从而确证分阶微积分在超级电容器储能建模中的适用性。
研究背景
超级电容器是许多装置和系统核心部件：备用电源、电力回收系统、汽车应用、混合动力车等。无化学反应积累电荷使其充放电循环次数比典型电池高数百倍。高充放电率使其在交通、可再生能源等能量回收系统中高效。所有这些应用中，关键参数是超级电容器积累能量信息。遗憾的是，典型电容器确定能量的公式(1/2)CU²不可用。积累能量不能仅基于端子电压确定。主因是与电荷重新分布相关的扩散过程。因此许多研究者尝试确定超级电容器模型以估算真实系统行为。目前主要采用典型电子元件组合，如RC四端网络或串并联组合。但所有这些模型假设超级电容器电流与端子电压关系为典型整数阶微分方程形式。
然而，应用分阶微积分可获得全新能量估算可能性。非整数阶微分积分学300多年前提出，但重要实现问题随计算机出现及其在离散时间动力系统建模中应用而相关。分阶微积分用于超级电容器参数估算非新课题，已有许多出版物。作者在频域和时域执行参数估算任务。
本文是作者会议报告扩展版，简要介绍分阶阶方法估算超级电容器积累能量。准确估算超级电容器参数对评估其可靠性至关重要。内部永久降解过程可改变等效串联电阻和电容。因此基于所提方法准确确定这些参数也允许准确评估电容器性能。
文章从分阶阶积分微分预备知识开始，呈现测试中使用的参数估计方法，提出基于分阶微积分新能量计算方法。结果与讨论部分呈现各场景计算能量并与参考（测量）值对比。结论总结贡献。
方法
超级电容器使用多孔材料及特定电荷积累方式导致基于整数阶导数模型的传统方法不够精确。许多研究者提出各种典型RC元件常数或变值组合解决方案。但采用非整数阶微分微积分定义超级电容器电流与电压关系可获更高精度。此外，此方案可导致模型结构非常简单，同时提供极高精度。
分阶阶微分积分学
分阶阶微分微积分已知300多年。但最近几年才在物理现象和过程建模中流行。认为用非整数阶导数或积分描述动力学可成为建模许多复杂现象和工业过程真实性质最有效方法之一，尤其是基于新材料和新技术。
非整数阶微分或积分微积分是将经典微积分推广到属于实数集\(\mathcal {R}\)的阶α。函数f(t)在区间[a,t]上α∈\(\mathcal {R}\)阶微分积分算子可写为：
$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{for} & \alpha>0\\ f(t) & \text{for} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \textrm {for} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. \tag{1} $$假设函数f(t)多阶可微可积。算子(1)有许多实现定义，性质和应用领域不同。最流行为Riemann-Liouville、Caputo和Grünwald-Letnikov（GL）定义。本文采用GL定义离散形式：
$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), \tag{2} $$二项式\(\alpha \choose j\)定义为：
$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{for} & j>0. \end{array} \right. \tag{3} $$为获取离散时刻分阶模型，GL定义离散形式简化为：
$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). \tag{4} $$GL方程(4)有若干离散化方案：后向差分（欧拉）、梯形（图斯汀）、Al-Alaoui算子。用欧拉法，离散时刻k分阶导数可表示为：
$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. \tag{5} $$无限历史样本和在实际系统中因内存和计算时间限制必须限制为有限值。截断或有限长度离散时间GL近似为：
$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, \tag{6} $$其中f(l)=0对l<0，L为模型(6)长度。减少样本数降低计算精度，这对连续时间系统重要。其他解决方案：用整数阶模型近似分阶微分积分算法，如Oustaloup递归滤波器。另一有效有限长度模型FFLD，结合截断模型(6)和Laguerre基差分。
所有辨识结果和能量测量基于观测窗口L内所有样本（最大精度）。图1展示基于(6)对k=0,1,…,L和各种积分/微分阶α的阶跃响应。采用不同α值可更精确建模不同物理过程，特别是扩散过程。
积分（a）和微分（b）模型不同阶α阶跃响应。
分阶模型参数估计
所有能量测量和辨识结果基于受控电压源充电超级电容器系统。此系统中，超级电容器电流iC(t)必须由串联电阻R限制（图2）。基于输入电压阶跃u(t)的四端网络响应uC(t)估算所有超级电容器参数。选择适当微分阶α可解释充放电过程中电荷重新分布相关扩散物理现象。并联电阻rP额外建模漏电流。用分阶微积分建模超级电容器，模型结构可低复杂度。电压源充电超级电容器基本模型仅两元素：简单RC四端网络（图2a）。低电容时串联电阻rS重要（图2b），漏电流IL可由并联电阻rP表示（图2c）。用分阶微积分建模超级电容器，端子电压与电流关系可表达为：
$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, \tag{7} $$超级电容器RC模型：基础模型（a）、扩展串联电阻（b）、额外并联电阻（c）。
其中算子dα/dtα为α阶微分算子，Cα单位为[F/sec1−α]。图2a基本配置可视为一阶惯性系统，用分阶传递函数表示：
$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, \tag{8} $$其中T=RCα。考虑串联电阻rS（图2b），电路视为相位滞后校正系统，传递函数：
$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, \tag{9} $$其中T1=Cα(R+rS)，T2=rSCα。额外允许并联电阻rP表示漏电流IL（图2c），系统传递函数可表达为：
$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, \tag{10} $$其中K=R/rP+1，T1=C(Rrs/rP+R+rS)，T2=rSC。时域中式(10)可呈现为：
$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. \tag{11} $$式(11)定义模型时域响应通过变换为图3图形形式获得，其中积分和微分运算为分阶α。此模型用于超级电容器参数估计过程。测试超级电容器用图4a系统辨识。整个系统控制程序用Matlab/Simulink配合xPC Toolbox开发。系统含台式机（xPC Target）安装NI-DAQ测量卡和主机（xPC Host），以太网互联。超级电容器由（电压控制）电压源充放电（图4b），电流效率达±3 A。测量系统100 Hz采样频率，所有测量和模拟控制信号16位分辨率处理。
超级电容器时域模型Matlab结构。
测量系统结构（a）和超级电容器充放电方案（b）。
确定系统动态特性主要方法基于阶跃响应分析。结合系统模型，此法允许估算参数。本研究用不同电压（0.5/1.0/1.5/2.0/2.7 V）恒定持续时间（500 s）阶跃信号（图5和表2）。超级电容器典型应用为向电力系统积累或输送能量，电压变化率较小。为模拟此情况，用400 mVpp、0.03 rad/s、2 V偏移正弦信号（图6）。此外为考察电压和频率变化对估计参数影响，使用各种频率值（表3）。
测试超级电容器及其分阶模型阶跃响应（a）和模型响应误差（b）。
测试超级电容器及其分阶模型正弦波响应（a）和模型响应误差（b）。
模型参数估计有多种方法。本工作时域辨识程序主要目的估算分阶模型(11)未知参数向量θ=[α,Cα,rS,rP]。用最小二乘法最小化初始误差。优化准则涉及最小化标准误差\(\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}\)，其中：
$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), \tag{12} $$uC(k)为测试系统输出电压，\(\hat {u}_{C}(k)\)为模型对输入u(k)输出电压。辨识问题化为寻找参数向量θ∈Θad使平方准则J最小化：
$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, \tag{13} $$Θad为允许参数值集，N为仿真时间。可用多种优化算法解决(13)。本文结果在Matlab环境实现遗传算法获得。
能量计算
超级电容器储存能量变化取决于单位时间供给电容器功率：
$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. \tag{14} $$供给电容器功率表示为电流与端子电压乘积，给定时刻t能量变化：
$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. \tag{15} $$时间区间[t1,t2]总能量通过积分能量变化获得：
$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. \tag{16} $$结合式(7)，总储存能量可确定为：
$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. \tag{17} $$设t1=0且\(E_{t_{1}}=0\)，区间[0,t]储存总能量：
$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. \tag{18} $$注意α=1时式(18)可简化为经典公式：
$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. \tag{19} $$结果与讨论
首先执行基于分阶微积分超级电容器模型参数向量估计过程。基于图2c系统，输入电压阶跃或正弦波进行估计。模型响应基于(11)计算。两种辨识过程结果非常相似，特别是分阶电容Cα和分阶阶α（表1）。串联电阻rS估计差异可能因其频率依赖性。阶跃信号含许多高频谐波，正弦波仅单一0.03 rad/s。结果针对商用超级电容器Samwha Green-Cap EDLC(DB)，额定2.7 V、100 F标称电容、1 kHz最大等效串联电阻（rS）8 mΩ。
图5a和6a显示测量超级电容器电压和计算模型响应（阶跃和正弦信号），图5b和6b显示模型响应误差。所有结果显示模型响应与实测高度一致，尽管模型相对简单。差异可能因模型参数应在电流源充放电系统中估算。并联电阻rP极高估计值暗示该电阻可从图2c模型排除。极高估计值及不同输入下巨大差异表明用于估算该参数的测试信号不合适。模型(10)作为最一般形式使用。但为准确确定所有参数，需其他程序和测试信号。rP表征漏电流IL，应用恒定电压信号极长时间（几十小时）确定。
虽然研究主要目标测量能量，各种激励条件显著影响所有参数估计（表2）。例如，增加阶跃电压幅值显著改变分阶积分阶，因超级电容器内部扩散现象影响增大。表2显示超级电容器相当非线性。积分阶变化导致分阶电容变化。正弦激励同样适用。估计参数——特别是α和Cα——依赖幅值和频率（表3）。低频下幅值重要，高频下超级电容器表现如恒定电压激励。
能量计算
图7a和8a显示测量超级电容器电压和电流值（图4b配置）。这些值用于按(16)计算电容器总储存能量（图7b和8b标记为E1）。参数辨识过程同理，阶跃电压和正弦波输入均进行计算。每个时刻t如此计算能量与按电压和电容按(19)计算能量（标记E3）及按分阶微积分按(18)计算能量（标记E2）对比。式(19)采用标称电容值（Cn），式(18)用表1估计值。图7b显示阶跃电压测量和能量计算结果，图8b显示正弦波同等量。不同电压阶跃和正弦激励做类似计算。图9a,b展示0.5 V和2.7 V两个阶跃激励测量计算能量示例。图10显示0.03 rad/s频率、0.1/0.25/0.5/0.7 V幅值正弦信号能量变化。可见确定能量值差异对应估计分阶阶α差异。α偏离−1值越大，计算能量差异越大。
超级电容器电压电流阶跃响应（a）和计算能量值（b）。
超级电容器电压电流正弦响应（a）和计算能量值（b）。
0.5 V（a）和2.7 V（b）阶跃激励计算能量量。
0.03 rad/s频率、0.1 V（a）、0.25 V（b）、0.5 V（c）、0.7 V（d)幅值正弦激励计算能量量。
讨论
超级电容器多孔电极材料（活性炭）经极薄隔离膜隔开，采用双电层电荷积累机制，带来巨大电容增强。但新材料新设计导致传统整数阶导数积分数学计算不准确。实测计算证明超级电容器分阶阶本质。正确估算导数/积分非整数阶α可用简单数学模型精确建模超级电容器内部现象过程。
考虑实测积累能量（式16），整数阶模型标称参数（式19）低估能量，而分阶模型（式18）指示近乎相同值。
测试测量涉及电压源充放电超级电容器。工业条件下超级电容器通常电流源充放电。这改变系统本质：电容器不再是惯性系统而成典型积分系统。但作者测量也指示此类情况下扩散过程发生。无论如何，Grünwald-Letnikov微分/积分算子实用性得到确证。另一问题涉及GL微分积分算子实现，如有限或截断GL差分(6)，计算负担重。未来研究将比较Oustaloup和FFLD近似器有效解决实现问题。
仅基于测量端子电压用模型(19)计算超级电容器储存能量不合适。模型(19)仅当电容器电流由端子电压整数阶导数表征（iC(t)=duC(t)/dt）有效。超级电容器因结构和特殊材料不满足此条件。同样问题存在于电流源充电大超级电容器。也有超级电池等新元件。所有这些应用中，电流变化不表征为端子电压整数阶导数，因这些元件特殊性质。
结论
本文提出超级电容器积累能量估算新方法。分析利用分阶模型独特性质。展示应用此类复杂建模导致极高精度结果，尽管模型本身不高复杂度。这是由于非整数阶动力学天然建模扩散过程能力，恰如超级电容器电荷重新分布。本文结果确证超级电容器分阶阶本质。
纳米材料