弹性刚度与表面粘附如何支配纳米颗粒碰撞反弹行为

摘要

颗粒碰撞由阈值速度区分低速粘附与高速反弹两种机制：反弹速度v_b。该参数对纳米颗粒尤为重要，应用于如天体物理学中的碰撞尘埃聚集描述。基于宏观Johnson-Kendall-Roberts（JKR）理论的解析估计预测v_b对颗粒半径、弹性刚度、表面粘附的依赖关系。本文通过允许测试纳米颗粒碰撞中这些依赖关系的模型势原子模拟。结果不仅显示JKR理论在材料参数依赖性上定性吻合，还指出显著量化偏差，在低粘附下最为显著：弹性刚度不影响反弹速度值。

研究背景

颗粒力学最基本过程或许是两颗粒碰撞。大颗粒速度下，碰撞后颗粒分离，结果可用经典非弹性碰撞力学表征。小颗粒速度下，颗粒粘附。粘附与反弹碰撞的界限可称反弹速度v_b。此参数对纳米颗粒尤重要，应用于天体物理学中碰撞尘埃聚集描述。

宏观接触力学用于推导v_b预测。基于Johnson-Kendall-Roberts（JKR）理论，描述两粘附球碰撞，以弹性刚度和表面粘附为基本物理输入。定量上，这些量由压痕模量E_ind=E/(1−ν²)描述，E为杨氏模量，ν为泊松比；表面能γ。给定球半径R和质量密度ρ，两相同球反弹速度为：

$$ {v_{b}} = \left(\frac {C} {\rho} \right)^{1/2}\left(\frac {\gamma^{5}} {E_{\text{ind}}^{2} R^{5}} \right)^{1/6}. \tag{1} $$

常数C值强依赖于碰撞中能量耗散假设，讨论值在0.3至60之间。

该预测有效性主要针对尺寸依赖性研究。随颗粒尺寸减小，粘附力更重要，反弹速度增加。实验在纳米颗粒（Ag和NaCl）上发现v_b在几十nm尺度约1 m/s，但随尺寸减小急剧增加。基于分子动力学（MD）的原子模拟确认非晶二氧化硅颗粒（R=15–25 nm）碰撞中预测的R^−5/6依赖性。

迄今，v_b对材料参数E_ind和γ的预测依赖性未详细测试。实验难以分离两量（不同材料通常两者皆异）。但用MD可构建模型材料，性质相同仅在一方面差异（E_ind或γ）。本文选Cu模型但将材料参数较真实值慷慨变化达一个数量级。因非晶纳米颗粒系统中未观察到反弹，聚焦晶体（fcc）颗粒。

方法/实验

采用Morse势描述距离r两原子相互作用：

$$ U(r) = D \left[ e^{-2\alpha(r-r_{0})} - 2 e^{-\alpha(r-r_{0})} \right]. \tag{2} $$

三个Morse参数D、α、r₀确定以描述面心立方（fcc）固体的晶格常数a、体积模量B、内聚能E_coh。为明确，固定晶格常数a=3.615 Å（适合Cu），采用Cu原子质量以保持质量密度ρ在式(1)中固定。势在r_c=2.5a截断；因此12个邻居壳层、共248个原子与每个原子相互作用。评估100个势函数，B范围403–1008 GPa，E_coh范围0.35–3.54 eV。注意此处体积模量大于、内聚能小于真实Cu（B=134.4 GPa，E_coh=3.54 eV），因真实值下未观察到反弹。

从(100)向单轴应力下的杨氏模量和泊松比确定压痕模量E_ind。图1a显示E_ind对B依赖：两者线性相关；定体积模量下，降低内聚能使E_ind增加。

材料参数。a 压痕模量E_ind对体积模量B依赖；b 表面能γ对内聚能E_coh依赖。

(100)面表面能由块体晶体与开放(100)面晶体能量差除以开放面面积得出。图1b显示γ大致与E_coh成正比；偏差仅在较小刚度和强结合材料可见。

从fcc晶格切割半径R=9a=33 Å球体构建颗粒，含约12,000原子。因构造方式，表面有平面。松弛以平衡表面；观察到轻微表面松弛，无表面重构。碰撞通过复制颗粒、以相对速度v对射启动。仅考虑中心碰撞，两对向(100)面正面碰撞（图2）。

碰撞初始设置。

确定反弹速度：执行多速度碰撞。算法基于简单二分法。验证250 m/s碰撞对所有系统均反弹，零速度粘附。然后在已知最低反弹速度和最高粘附速度算术平均处运行模拟。重复直至最高粘附与最低反弹速度差小于其平均值10%。v_b取两者算术平均；后两值也作为计算误差标示于图中。模拟用开源软件LAMMPS，代码基本同前序非晶二氧化硅和水冰颗粒碰撞研究。

结果

图3概述结果。整体幂律拟合为：

$$ {v_{b}} \propto \gamma^{0.588} E_{\text{ind}}^{-0.155}. \tag{3} $$

反弹速度。反弹速度v_b对压痕模量E_ind和表面能γ依赖的三维图。

因此，JKR定律式(1)主要特征——v_b随粘附增加、随弹性刚度减小——被复现，但依赖性比JKR弱。

图4详细考察依赖性。因固定B或E_coh确定反弹速度，将分析这些固定值，但用E_ind和γ呈现依赖性以连接JKR预测式(1)。定内聚能E_coh下，v_b对弹性刚度呈幂律依赖：

$$ v_{b} \propto E_{\text{ind}}^{-a}, \tag{4} $$

反弹速度。反弹速度v_b对a压痕模量E_ind和b表面能γ依赖。线为幂律拟合。c 显示幂指数a（式4）对内聚能依赖。线为线性拟合引导视线。

其中a=0.28 (0.26, 0.02) 对应E_coh=3.54 (2.12, 0.35) eV。因此，JKR预测指数a=0.33在高表面能下近似恢复；但随γ减小依赖变软，弱粘附表面下完全消失。注意零表面能下所有碰撞必反弹，这解释了该情况下弹性刚度作用消失。

图4c显示模拟得v_b(E_ind)幂指数a（式4）。图清晰展示a随内聚能（从而表面能）增加而增大，红色线性拟合线指示。

固定弹性刚度B下，v_b对γ依赖呈现较简单图景（图4b）。幂律拟合v_b∝γ^−b给出相当一致的b=0.67 (0.59, 0.53) 对应B=403 (739, 1008) GPa，显示对B（从而E_ind）仅温和依赖。但这些依赖比式(1)预测b=0.83更软。随刚度增加，偏离JKR预测增强。已知JKR对过刚体系失效，Derjaguin-Muller-Toporov（DMT）理论被认为更适用，但似乎无从该理论导出反弹速度预测。

总体此处反弹速度<100 m/s。强调对真实Cu适用的Morse势值，全速度范围粘附，无反弹。这与Pogorelko等人最近模拟Cu球（7–22 nm直径）撞Al表面在1000 m/s仍粘附一致。我们观察到反弹是因模型势中弹性模量较真实Cu慷慨增大、表面结合减小。

反弹阈值以上，碰撞由恢复系数表征：

$$ e= |v'|/|v|, \tag{5} $$

比较碰撞后相对速度v^′与碰撞前v，度量碰撞非弹性。粘附碰撞显然e=0。JKR理论建议定律：

$$ e_{\text{JKR}} = \alpha \sqrt{1- \left(\frac{v_{b}}{v} \right)^{2}}, \tag{6} $$

引入因子α考虑能量耗散。

图5显示两种e速度依赖情况，代表全刚度粘附范围。所有情况碰撞中无主要能量耗散；α约0.9。足够大表面能下（图5a），e相当好遵循JKR预测式(6)。小γ下（图5b），见较窄过渡区，e从0切换至近1；此过渡区不符合JKR预测式(6)。

恢复系数。强粘附（γ=2.32 J/m²）a和弱粘附（γ=0.89 J/m²）b表面下恢复系数e对碰撞速度v依赖。体积模量相同，B=940.8。符号为模拟结果，曲线为式(6)拟合，α=0.86（a)和0.95（b)。

讨论

粘附区中恢复系数保持<1指示碰撞中非弹性能量损失。验证碰撞纯弹性：无永久塑性产生；用OVITO软件检查位错产生。高速（v>100 m/s）和顺性球体下，位错瞬时形成但碰撞后消失。注意类似尺寸晶体纳米球经通用Lennard-Jones势碰撞可检测大量位错产生，非晶二氧化硅球碰撞识别剪切转变区，两系统均表现塑性。本例中高弹性模量阻止塑性变形建立；非弹性能量损失仅由碰撞球激发振动引起。可得出结论：反弹碰撞存在关联于碰撞中非弹性损耗抑制，从而关联于塑性变形抑制。

小γ下e行为印证上述v_b发现：弱粘附系统偏离JKR显著。结论：弱粘附下，反弹速度和反弹后系统状态仅弱依赖其他系统特征（E_ind、v）。

结论

利用模型势专用MD模拟测试了JKR粘弹性接触理论预测。发现当将材料刚度和粘附变化达一个数量级时，反弹速度依赖性总体趋势被JKR理论合理复现。但系统性偏离存在于弱粘附颗粒：反弹阈值变得独立于材料刚度，恢复系数在v_b以上几乎无速度依赖。强粘附下，v_b对γ依赖系统性小于JKR预测。

这些偏离指向宏观接触理论对纳米颗粒碰撞描述的不完整性。未来工作将尝试扩展至其他取向晶体颗粒、更大半径、非晶颗粒。

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