MATLAB 符号求导全攻略：diff 命令、求导法则、高阶导数与极值

MATLAB 用 diff 命令进行符号求导。最简形式：diff(f)。

基本示例

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)  % 6*t - 4/t^3

Octave 对应 differentiate(f,t)。

求导法则验证

常用法则：

• 线性：(af+bg)' = af' + bg'
• 和/差：(f±g)' = f' ± g'
• 乘积：(fg)' = f'g + fg'
• 商：(f/g)' = (f'g - fg')/g²
• 幂：(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹，常数导数为 0
• 链式：h(x)=f(g(x)) → h' = f'(g)·g'

复合函数求导示例

syms x t
f = (x+2)*(x^2+3);           diff(f)  % 2*x*(x+2)+x^2+3
f = (t^2+3)*(sqrt(t)+t^3);   diff(f)  % 乘积法则展开
f = (x^2-2*x+1)*(3*x^3-5*x^2+2); diff(f)
f = (2*x^2+3*x)/(x^3+1);     diff(f)  % 商法则
f = (x^2+1)^17;              diff(f)  % 34*x*(x^2+1)^16 链式法则
f = (t^3+3*t^2+5*t-9)^(-6);  diff(f)  % 链式法则

初等函数导数表

验证示例

syms x
diff(exp(x))        % exp(x)
diff(x^9)           % 9*x^8
diff(sin(x))        % cos(x)
diff(tan(x))        % tan(x)^2+1
diff(cos(x))        % -sin(x)
diff(log(x))        % 1/x
diff(log10(x))      % 1/(x*log(10))
diff(sin(x)^2)      % 2*cos(x)*sin(x)
diff(cos(3*x^2+2*x+1)) % -sin(...)*(6*x+2)
diff(exp(x)/sin(x)) % exp(x)/sin(x) - exp(x)*cos(x)/sin(x)^2

高阶导数

语法：diff(f, n) 求 n 阶导。

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)  % 9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

应用：验证微分方程

y = 3sin(x)+7cos(5x)，验证 y''+y = -5cos(2x) 是否成立。

syms x; y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);
lhs = diff(y,2)+y; rhs = -5*cos(2*x);
isequal(lhs,rhs)  % false
lhs  % -168*cos(5*x)

求极值（驻点法）

驻点满足 f'(x)=0。例：f(x)=2x³+3x²-12x+17。

1. 绘图观察区间 [-2,2]
2. g = diff(y) → 6x²+6x-12
3. solve(g) → x=1, -2
4. subs(y,1)=10（极小值），subs(y,-2)=37（极大值）

求解微分方程

dsolve 符号求解微分方程。导数用 D 表示：Dy = y', D2y = y''。

dsolve('Dy = 5*y')              % C2*exp(5*t)
dsolve('D2y - y = 0','y(0)=-1','Dy(0)=2')  % exp(t)/2 - 3*exp(-t)/2