基于石墨烯的拓扑等离子体晶体中的伪自旋相关单向传输

背景

光子拓扑绝缘体 [1,2,3,4] 是一种非平凡拓扑相的光学材料，它阻止光在其内部传输但允许沿其边缘传播，在凝聚态量子霍尔效应 (QHE) 的发现之后，人们对其进行了深入研究。事情。拓扑物理学的一个关键表现是边缘状态的存在，这些状态对结构缺陷或局部紊乱具有鲁棒性。特别是，通过利用体边缘对应关系 [5, 6]，可以通过探测边缘状态或边缘拓扑不变量来研究不同的拓扑阶段。近年来，已经在许多光子拓扑带隙系统中预测和观察到拓扑边缘状态，例如旋磁光子晶体 [7,8,9]、基于双各向异性的光子拓扑绝缘体 [10, 11]、耦合波导网络[12, 13] 和 Floquet 光子晶格 [14, 15]，其中提出了各种物理机制来提供拓扑保护。值得注意的是，打开了一个双狄拉克锥，以获得一个众所周知的蜂窝晶格光子晶体中的拓扑非平凡带隙，该晶体保留了伪时间反转对称性，从而产生了边缘状态的赝自旋相关单向传输 [16, 17]。除了光子系统之外，还探索了声子系统中赝自旋相关的边缘状态 [18,19,20]。然而，等离子体纳米结构的类比尚未见报道，这是由于沿传统等离子体材料如Au和Ag传播的等离子体存在巨大的欧姆损耗。

表面等离子体激元 (SPPs) [21]，由光子和自由电子振荡在金属和电介质之间的界面耦合的基本激发，被认为是一种有前途的物理机制，可以绕过衍射限制并推进设备的小型化.尤罗夫等人。探索了等离子体模式的反向作用和杂化，并发现了狄拉克电子在石墨烯中的诱导光学极化 [22]。梅米等人。报道了 SPP 和分子振动之​​间的强耦合 [23]。虽然常用的贵金属如金和银在光谱的可见光和近红外区域表现出等离子体特性，但石墨烯最近已成为一种有前途的替代品，能够将等离子体领域扩展到红外和太赫兹 (THz)波长。更重要的是，与贵金属相比，石墨烯等离子体可以通过静电偏置进行动态调整 [24, 25]，这使得新一代可重构等离子体设备成为可能。此外，在高质量石墨烯中激发的 SPP 可以达到非常长的内在弛豫时间，并提供前所未有的场限制水平 [26]。这些非凡的特性使石墨烯成为全集成拓扑等离子体组件的理想候选者。最近，Jin 等人。在周期性图案化的单层石墨烯中实现了拓扑保护的单向边缘等离子体，其中详细研究了时间反转破坏磁场下石墨烯等离子体的能带拓扑 [27]。和潘等人。证明了在中等静磁场下超晶格结处的实质性非互易行为，导致拓扑保护边缘态和局域体模式的出现[28]。

在这项工作中，我们从理论上探索了由周期性排列的石墨烯纳米盘构成的二维 (2D) 石墨烯等离子体晶体 (GPC) 的拓扑特性。布里渊区 (BZ) 角的狄拉克锥通过区域折叠机制折叠成 BZ 中心的双狄拉克锥。为了获得拓扑带隙，我们对蜂窝晶格进行了进一步的变形。通过收缩或膨胀石墨烯纳米盘，双狄拉克锥打开，赝自旋偶极子和四极子模式之间发生能带反转，这进一步导致非平凡和平凡状态之间的拓扑相变。此外，沿由平凡和非平凡GPC构建的界面对边缘态的单向传播进行了数值模拟，进一步证明了我们设计的等离子体晶体的赝自旋特性和拓扑鲁棒性。

方法

我们研究了由具有不同化学势的同一片石墨烯包围的周期性排列的石墨烯纳米盘阵列的 2D 等离子体晶体中 SPP 的能带拓扑，如图 1a 所示。晶格常数a =40 nm, μ c1 和 r 是石墨烯纳米盘的化学势和半径； μ c2 表示周围石墨烯的化学势。通过求解具有边界条件的麦克斯韦方程，我们得到了由空气和二氧化硅包围的石墨烯层上支持的横向磁（TM）极化SPP模式的色散关系[29]：

一 二维 GPC 的示意图。 b 布里渊区。 c 基于菱形原始晶胞的晶格能带结构用绿色虚线表示，插图绘制了狄拉克点的本征电场分布。 d 基于六边形晶胞的晶格能带结构，插图绘制了双狄拉克点的本征电场分布。其他参数设置为μ c1 =0.3 eV, μ c2 =0.6 eV, τ =1 ps，晶格常数a =40纳米

这里，ε 0 是自由空间的真空介电常数，k 0 =2π/λ 是自由空间中的波数，λ 是真空中的工作波长。在中红外区，假设super和substrate对应的空气和二氧化硅的介电常数为ε 空气 =1和ε SiO2 =3.9 分别[30]。在 β 的非延迟状态下 » k 0 ，方程。 (3)可以简化为[31]。

其中 β 是石墨烯层上的传播常数 SPP，有效折射率 n SPP 模式的 eff 可以从 n 导出 eff =β /k 0 . σ g 是由带内和带间的贡献组成的石墨烯的表面电导率，即 σ g =σ 内 + σ 国际 [29, 30]。带内电导率σ 对应于带内电子-光子散射过程的intra为

其中 μ c 是与电子密度相关的化学势，e 是电子电荷，ω 是等离子体的角频率，ℏ 和 k B 分别是约化的普朗克常数和玻尔兹曼常数，T 是温度，τ 表示由于电荷载流子散射引起的电子动量弛豫时间。对于ℏω » k B T 和 |μ c| » k B T , 带间电导率 σ 对应于带间电子跃迁的inter可以近似表示为

结果与讨论

所提出的等离子体晶体的能带结构是通过采用基于有限元法 (FEM) 的商用软件 COMSOL Multiphysics 获得的。在图 1a 中，我们注意到两个石墨烯纳米盘的菱形晶胞（由矢量 a 定义的绿色虚线菱形） s1 和 a s2 ) 和六个石墨烯纳米盘的六边形晶胞（具有晶格矢量 a 1 和 a 2 ) 可以形成蜂窝状晶格等离子体晶体。图 1b 显示了菱形和六边形晶胞的 BZs，具有 MII-Γ 的束缚区 II- KII- MII 和 MI-Γ I- KI- MI 分别。请注意，六边形晶胞比菱形原始晶胞大三倍。因此，菱形原始晶胞的第一个 BZ 是六边形晶胞的三倍（图 1b 中的蓝色区域）。当采用菱形原始晶胞时，该等离子体晶体在 BZ 角的 KII 和 KII` 点处表现出狄拉克锥色散，如图 1c 所示。图 1c 中的插图显示了 Dirac 点处两个简并态的本征电场分布。类似于经典光子和声学系统中的赝自旋 [17, 19, 20]，为了模拟等离子体系统中的赝自旋，自由度应该增加到两倍状态。因此，需要等离子体能带结构中的四重简并双狄拉克锥。通过采用区域折叠机制 [18]，KII 和 KII` 点的狄拉克锥在 Γ 处折叠成双狄拉克锥 取较大的六边形晶胞时点在 BZ 中心（如图 1d 所示）。图 1d 中的插图显示了具有偶极子和四极子模式的四重简并本征态。我们使用的相关参数是μ c1 =0.3 eV, μ c2 =0.6 eV，并且τ =1 ps，这是从以往对实用石墨烯的研究中适度选取的[32, 33]。

由两个偶极和两个四极模式组成的四重退化双狄拉克锥与 C6v 点群的两个二维不可约表示相关联，即奇空间奇偶校验的 E1 模式和偶空间奇偶校验的 E2 模式。遵循量子力学中广泛采用的常规符号 [34]，我们可以将这些模式分类为 p x /p 是 和 d x2-y2 /d xy 模式根据他们的特征 E z 场分布如图 2 所示。 接下来，为了在 Γ 处打开一个非平凡的拓扑带隙 在这一点上，我们进行了进一步的修改（即，使 a 的蜂窝晶格变形 /R =3) 在六边形晶胞上破坏对称性。当将石墨烯纳米盘缩小到 a 时 /R =3.2，四重简并双狄拉克锥分裂成两个二重简并状态，体带隙从 62.1 到 63.5 THz 打开，如图 2a 所示。 E z 较低频带的场有一对偶极子模式，表现出 p ± 字符，而上带有一对四极模式，表现出 d ± Γ 周围的字符 点，这与经典光子理论一致，即偶极模式必须表现出低于高阶四极模式的频率。然而，当将石墨烯纳米盘扩展到 a 时会发生能带反转 /R =2.9，即偶极模式高于四极模式，这导致拓扑非平凡带隙从 62.4 到 63.3 THz，如图 2c 所示。图2d、e说明了p之间的拓扑转换过程 ± 和 d ± 状态，以及与 p 相关的面内磁场 ± 和 d ± 标有白色箭头。 E 波函数的角动量 z 字段 p ± =(p x ± ip 是 )/\( \sqrt{2} \) 和 d ± =(d x2-y2 ± id xy )/\( \sqrt{2} \) 进一步构成当前等离子体晶体中的赝自旋[17, 18]。

具有 a 的 GPC 的能带结构 一 /R =3.2，b 一 /R =3 和 c 一 /R =2.9。 d , e E p偶极子模式和四极子模式的z场分布 ± 和 d ± a 中的状态 和 c 分别。白色箭头表示与 E 相关的面内磁场 z字段

为了进一步探索图 2a、c 中所示带隙的拓扑特性，它通常与有效的哈密顿描述和拓扑数有关。通过应用 \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) 微扰理论，有效哈密顿量 H eff(k ) 围绕 Γ 点基于 [p + , d + , p - , d - ]可以表示为[17, 35]。

其中 k ± =k x ± ik 是 , 和 A 来自一阶微扰项的非对角元素 \( {M}_{\alpha \beta}=\left\langle {\Gamma}_{\alpha}\left|\overset{\rightharpoonup }{k }\cdot \overset{\rightharpoonup }{p}\right|{\Gamma}_{\beta}\right\rangle \) 与 α =1, 2 和 β =3, 4. 有效哈密顿量 H eff(k ) 的形式类似于 CdTe/HgTe/CdTe 量子阱系统的 Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ) 模型 [36]，这意味着发生能带反转时的拓扑带隙。基于等式中表示的哈密顿量。 (5), 我们可以评估拓扑等离子体晶体的自旋陈数[36]。

在这里，M =(E p – E d )/2 是 E 之间的频率差 2 和 E 1 Γ 处的表示 观点。 B 由二阶微扰项的对角元素决定，通常为负值 [19]。因此，C ± 当具有如图 2a 所示的正常带序时，获得 =0。我们得出结论，打开的带隙是微不足道的。然而，M 当带反转发生时变为正值。因此，C ± =±1 是简单得到的，图 2c 中的差距是不平凡的。

通过将带隙与不同的拓扑（即拓扑平凡和拓扑非平凡）重叠，可以创建空间限制在两个等离子体晶体之间界面周围的边缘状态。在这里，我们考虑一个带状拓扑非平凡等离子体晶体（带结构如图 2c 所示），其两个边缘在相同的频率窗口被两个拓扑平凡等离子体晶体（带结构如图 2a 所示）包覆。这两个微不足道的区域可以防止可能的边缘状态泄漏到自由空间中。在图 3a 中，我们展示了计算出的沿 Γ 的投影能带结构 这种带的 K 方向，其中体带隙由额外的拓扑边缘状态跨越，如双退化红色曲线所示。图 3b 绘制了由两个不同晶体构成的界面周围的电场分布，对应于点 A（具有 k x =− 0.05π/a ) 和 B (带有 kx =0.05π/a ) 标记在图 3a 中。伪自旋向上和自旋向下特性由逆时针和顺时针方向的相位涡流证明，如图 3b 右侧面板所示。

一 由 16 个非平凡晶胞组成的超级晶胞的投影能带结构，两侧覆盖有 12 个平凡晶胞。 b 在 A 点和 B 点处，即在 k 处，普通和非普通等离子体晶体之间的界面周围的电场分布 x =− 分别为0.05π/a和0.05π/a

边缘状态的赝自旋相关单向传输也在有限的 20a 中得到证明 × 18a 由平凡和非平凡晶体构成的晶格。如图 4a、b 所示，当被伪自旋向上（自旋向下）源 S 激发时，SPP 波向左（右）方向的单向传播 + (S - ）的面内磁场的逆时针（顺时针）圆极化。拓扑边缘状态最显着的特征之一是它们对扰动/缺陷具有鲁棒性。为了验证这种稳健性，我们构建了如图 4c 所示的急弯，其中 SPP 波的单向传输由伪自旋向下源 S 激发 - .由于石墨烯材料的固有损失，SPP 波最终在沿着急弯的长距离行进后消失。为了进一步证实这种拓扑传输，我们还通过忽略石墨烯的固有损耗来展示电场强度分布以进行比较。从图4d可以看出，SPP波遵循设计的路径并保持单向传播，几乎没有后向散射。

一 向左和 b 由具有 π/2 相位差的面内磁场激发的向右单向边缘态：\( {S}_{\pm }={H}_0\left(\overset{\rightharpoonup }{x}\mp i\overset{\rightharpoonup {y}\right) \) c 沿急弯行进的拓扑边缘状态。 d 不考虑石墨烯材料固有损耗的拓扑单向传输电场强度分布

结论

总之，我们系统地研究了由周期性图案化石墨烯纳米盘构成的 GPC 的能带拓扑结构。通过采用区域折叠机制，在 BZ 角的狄拉克锥被折叠成在 BZ 中心的双狄拉克锥。此外，拓扑带隙是通过使蜂窝晶格 GPC 变形来实现的。基于由\( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) 微扰理论导出的有效哈密顿量，计算自旋陈数。由逆时针和顺时针相位涡旋证明的赝自旋特性成功地用于实现边缘态沿由两个拓扑平凡和非平凡等离子体晶体构成的界面的单向传输。设计的 GPC 为研究拓扑现象提供了一条新途径，并可能在拓扑等离子体学领域找到潜在的应用。这也可能引发对赝自旋等离子体和高密度纳米光子集成电路赝自旋复用技术的探索。

缩写

BHZ：

Bernevig-Hughes-Zhang

BZ：

布里渊区

有限元：

有限元法

GPC：

石墨烯等离子体晶体

QHE：

量子霍尔效应

QSHE：

量子自旋霍尔效应

SPP：

表面等离子体激元