石墨烯拓扑等离子体晶体中伪自旋控制的单向传输

摘要

源于凝聚态量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应（QSHE）的研究，拓扑概念近期扩展至光子学、声子学等领域，产生免疫散射的非传统边缘态。本文在中红外频段提出石墨烯等离子体晶体（GPC）中的等离子体 QSHE 类比。通过变形蜂窝晶格 GPC 发生带隙反演，进而产生拓扑带隙和边缘态伪自旋特征。重叠不同拓扑的带隙，数值模拟了伪自旋依赖的单向边缘态传播。设计的 GPC 可用于拓扑等离子体学，并可能触发高密度纳米光子集成电路中伪自旋复用技术的探索。

背景

光子拓扑绝缘体[1–4]——内部禁止光传输但允许边缘传播的非平凡拓扑相光学材料——自量子霍尔效应（QHE）发现后被深入研究。拓扑物理关键表现是对结构缺陷或局部无序鲁棒的边缘态存在。特别是利用体边对应[5,6]，可通过探测边缘态或边缘拓扑不变量研究不同拓扑相。近年来，拓扑边缘态在多种光子拓扑带隙系统中被预言和观测：磁光子晶体[7–9]、双向各向异性光子拓扑绝缘体[10,11]、耦合波导网络[12,13]、Floquet 光子晶格[14,15]，提出多种物理机制提供拓扑保护。值得注意的是，在保持伪时间反演对称性的蜂窝晶格光子晶体中，打开双狄拉克锥获得非平凡拓扑带隙，产生伪自旋依赖的单向边缘态传输[16,17]。声子系统中伪自旋依赖边缘态也被探索[18–20]。然而等离子体纳米结构中的类比尚未报道，因传统等离子体材料（Au、Ag）巨大欧姆损耗。

表面等离子体极化子（SPPs）[21]——金属/介质界面光子与自由电子振荡耦合的基本激发——被视为突破衍射极限、推进器件微型化的有前景物理机制。Iurov 等探讨等离子体模式反作用和杂化，发现石墨烯中狄拉克电子诱导光学极化[22]。Memmi 等报道 SPPs 与分子振动强耦合[23]。常用贵金属金银等离子体特性多在可见/近红外区，石墨烯近期作为替代材料出现，可将等离子体学延伸至红外和太赫兹（THz）波段[24,25]。更关键的是，石墨烯等离子体可通过静电偏置动态调控，实现新一代可重构等离子体器件。此外，高质量石墨烯激发的 SPPs 可达极长本征弛豫时间，提供前所未有的场限域[26]。这些非凡性质使石墨烯成为全集成拓扑等离子体元件的理想候选。近期，Jin 等在周期性图案化单层石墨烯中实现拓扑保护单向边缘等离子体，详细研究了破坏时间反演对称性磁场下石墨烯等离子体带拓扑[27]。Pan 等在中等静态磁场下超晶格结展示实质性非互易行为，产生拓扑保护边缘态和局域体模式[28]。

本工作理论探索二维（2D）石墨烯等离子体晶体（GPCs）的拓扑性质，由周期性排列的石墨烯纳米盘构成。利用区域折叠机制，将布里渊区（BZ）角的狄拉克锥折叠至 BZ 中心的双狄拉克锥。为获得拓扑带隙，进一步变形蜂窝晶格。通过收缩或扩张石墨烯纳米盘，双狄拉克锥打开，伪自旋偶极和四极模式间发生带反演，导致非平凡与平凡拓扑相间的拓扑相变。进一步，沿平凡和非平凡 GPCs 构建的界面数值模拟了边缘态单向传播，进一步证明设计等离子体晶体的伪自旋特征和拓扑鲁棒性。

方法

研究被相同化学势石墨烯片包围的周期性排列石墨烯纳米盘 2D 等离子体晶体中 SPPs 带拓扑（图 1a）。晶格常数 a=40 nm，μ_c1 和 r 为石墨烯纳米盘化学势和半径；μ_c2 为周围石墨烯化学势。求解含边界条件的麦克斯韦方程，获得气/二氧化硅包围石墨烯层上横磁（TM）极化 SPP 模式色散关系[29]：

$$ \frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{Air}}}+\frac{\varepsilon_{Si{O}_2}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}}=\frac{\sigma_g}{i{\omega \varepsilon}_0}. $$ (1)

此处 ε₀ 为真空介电常数，k₀=2π/λ 为真空波数，λ 为真空工作波长。中红外区假设空气和二氧化硅介电常数分别为 ε_Air=1、ε_SiO₂=3.9[30]。非迟滞区 β » k₀ 时，式（3）简化为[31]：

$$ \beta ={\varepsilon}_0\frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}+{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}{2}\frac{2 i\omega}{\sigma_{\mathrm{g}}}, $$ (2)

β 为石墨烯层上 SPPs 传播常数，有效折射率 n_eff=β/k₀ 可导出。σ_g 为石墨烯表面电导率，含带内和带间贡献：σ_g=σ_intra+σ_inter[29,30]。带内电导率对应带内电子-光子散射：

$$ {\sigma}_{\mathrm{intra}}=\frac{ie^2{k}_BT}{\pi {\mathrm{\hslash}}^2\left(\omega +i/\tau \right)}\left[\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}+2\ln \left(1+\exp \left(-\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}\right)\right)\right], $$ (3)

μ_c 为关联电子密度的化学势，e 为电子电荷，ω 为等离子体角频率，ℏ 和 k_B 为约化普朗克常数和玻尔兹曼常数，T 为温度，τ 为载流子散射动量弛豫时间。对 ℏω » k_B T 且 |μ_c| » k_B T，带间电导率近似表达为：

$$ {\sigma}_{\mathrm{inter}}=\frac{ie^2}{4\pi \mathrm{\hslash}}\ln \left[\frac{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid -\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid +\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}\right]. $$ (4)

结果与讨论

用基于商业软件 COMSOL Multiphysics 的有限元法（FEM）获得拟议等离子体晶体能带结构。图 1a 中，由两石墨烯纳米盘组成的菱形原胞（绿虚线菱形，矢量 a_s1、a_s2）和六石墨烯纳米盘的六方单胞（晶格矢量 a₁、a₂）均可形成蜂窝晶格等离子体晶体。图 1b 给出菱形和六方原胞的 BZ，不可约区分别为 M_II-Γ_II-K_II-M_II 和 M_I-Γ_I-K_I-M_I。六方单胞是菱形原胞三倍大，故菱形原胞第一 BZ 是六方单胞的三倍（图 1b 蓝区）。取菱形原胞时，等离子体晶体在 BZ 角 K_II 和 K_II' 点呈狄拉克锥色散（图 1c）。图 1c 插图显示狄拉克点两简并态本征电场分布。类似经典光子和声子系统伪自旋[17,19,20]，为在等离子体系统模拟伪自旋类比，自由度需增加至二重态。故等离子体带结构需四重简并双狄拉克锥。利用区域折叠机制[18]，取较大六方单胞时，K_II 和 K_II' 处狄拉克锥折叠至 BZ 中心 Γ 点形成双狄拉克锥（图 1d）。图 1d 插图显示偶极和四极模式的四重简并本征态。参数取 μ_c1=0.3 eV、μ_c2=0.6 eV、τ=1 ps，基于前人实用石墨烯研究适度选择[32,33]。

由两偶极和两四极模式组成的四重简并双狄拉克锥对应 C₆v 点群两个二维不可约表示：奇空间宇称 E₁ 模式和偶空间宇称 E₂ 模式。遵循量子力学通用符号[34]，按图 2 所示本征 E_z 场分布，将这些模式分类为 p_x/p_y 和 d_{x²-y²}/d_{xy} 模式。为在 Γ 点打开非平凡拓扑带隙，在六方单胞进一步修改（变形蜂窝晶格 a/R=3）破缺对称性。收缩石墨烯纳米盘至 a/R=3.2，四重简并双狄拉克锥分裂为两两重简并态，体带隙从 62.1 到 63.5 THz 打开（图 2a）。低能带 E_z 场为一对偶极模式呈 p_± 特征，高能带为一对四极模式呈 d_± 特征，符合经典光子理论：偶极模式频率低于高阶四极模式。然而扩张纳米盘至 a/R=2.9 时发生带反演：偶极模式升至四极模式之上，形成 62.4–63.3 THz 非平凡拓扑带隙（图 2c）。图 2d、e 示拓扑相变过程，p_± 和 d_± 关联平面内磁场用白箭头标记。E_z 场波函数角动量 p_±=(p_x±ip_y)/√2 和 d_±=(d_{x²-y²}±id_{xy})/√2 进一步构成本等离子体晶体伪自旋[17,18]。

为进一步探究图 2a、c 带隙拓扑性质，通常关联有效哈密顿量描述和拓扑数。应用 k·p 微扰理论，在 [p_+, d_+, p_−, d_−] 基底下 Γ 点附近有效哈密顿量 H_eff(k) 可表达为[17,35]：

$$ {H}^{\mathrm{eff}}(k)=\left[\begin{array}{cccc}M+{Bk}^2& {Ak}_{+}& 0& 0\\ {}{A}^{\ast }{k}_{-}& -M-{Bk}^2& 0& 0\\ {}0& 0& M+{Bk}^2& {Ak}_{-}\\ {}0& 0& {A}^{\ast }{k}_{+}& -M-{Bk}^2\end{array}\right], $$ (5)

k_±=k_x±ik_y，A 来自一阶微扰项非对角元 M_{αβ}=⟨Γ_α|k·p|Γ_β⟩（α=1,2；β=3,4）。有效哈密顿量 H_eff(k) 形式类似 CdTe/HgTe/CdTe 量子阱系统的 Bernevig-Hughes-Zhang（BHZ）模型[36]，暗示带反演时存在拓扑带隙。基于式（5）哈密顿量，可评价拓扑等离子体晶体自旋陈数[36]：

$$ {C}_{\pm }=\pm \frac{1}{2}\left[\operatorname{sgn}(M)+\operatorname{sgn}\left(-B\right)\right]. $$ (6)

M=(E_p–E_d)/2 为 Γ 点 E₂ 和 E₁ 表示频率差。B 由二阶微扰项对角元决定，通常为负[19]。正常带序（图 2a）得 C_±=0，带隙为平凡。带反演时 M 为正，得 C_±=±1，图 2c 带隙为非平凡。

重叠不同拓扑带隙（平凡与非平凡），可在两等离子体晶体界面周围空间限域产生边缘态。此处考虑非平凡等离子体晶体带状区（带结构见图 2c）两侧包覆平凡等离子体晶体（带结构见图 2a），同一频窗。图 3a 给出此超胞沿 ΓK 方向投影带结构，体带隙被额外拓扑边缘态跨越（红色双简并曲线指示）。图 3b 绘制两特异晶体界面周围电场分布，对应图 3a 标记点 A（k_x=−0.05π/a）和 B（k_x=0.05π/a）。右侧面板展示逆时针和顺时针相位涡旋，证实伪自旋向上和向下特征。

在由平凡和非平凡晶体构成的有限 20a×18a 晶格中演示伪自旋依赖单向边缘态传输。图 4a、b 显示以逆时针（顺时针）圆偏振平面内磁场激发伪自旋向上（向下）源 S_+（S_−）时，SPP 波向左（右）单向传播。拓扑边缘态最显著特征是对扰动/缺陷鲁棒。验证此鲁棒性，构建尖锐弯道（图 4c），以伪自旋向下源 S_− 激发单向 SPP 传输。SPP 波沿尖锐弯道长距离传播后因石墨烯本征损耗最终消失。为进一步确认拓扑传输，忽略石墨烯本征损耗展示电场强度分布对比（图 4d）。可见 SPP 波遵循设计路径保持单向传播，几乎无后向散射。

结论

总之，系统研究了周期性图案化石墨烯纳米盘构建的 GPCs 带拓扑。利用区域折叠机制将 BZ 角狄拉克锥折叠至 BZ 中心双狄拉克锥。进一步变形蜂窝晶格 GPCs 实现拓扑带隙。基于 k·p 微扰理论导出的有效哈密顿量评价自旋陈数。伪自旋特征（通过逆时针/顺时针相位涡旋证实）成功实现沿平凡和非平凡等离子体晶体界面构建的单向边缘态传输。设计的 GPC 为拓扑现象研究提供新路径，在拓扑等离子体学领域有潜在应用，也可能触发高密度纳米光子集成电路中伪自旋等离子体学和伪自旋复用技术的探索。

缩写

BHZ:

Bernevig-Hughes-Zhang

BZ:

布里渊区

FEM:

有限元法

GPC:

石墨烯等离子体晶体

QHE:

量子霍尔效应

QSHE:

量子自旋霍尔效应

SPPs:

表面等离子体极化子