基于双非线性的石墨烯-介质等离子体波导模式与色散控制

摘要

本文研究了同时考虑介质和石墨烯双重非线性的石墨烯-介质非线性等离子体波导的模式与色散特性。针对TM偏振，通过数值求解麦克斯韦方程获得了模式分布、介电常数分布及色散关系。与仅考虑介质非线性的情况相比，引入双非线性后激发等离子体模式所需的初始场强度显著降低。此外，双非线性对色散关系影响显著，石墨烯的非线性对色散特性影响尤为强烈。双非线性导致初始场强度降低，这在低阈值全光开关中具有潜在应用价值。

研究背景

石墨烯等离子体学因石墨烯独特的电子和光学性质而备受关注。在THz和远红外频段，电子带内跃迁主导，石墨烯表现出类金属特性，可支撑表面等离子体极化子(SPPs)。针对石墨烯-介质多层复合结构，SPPs的激发、耦合及传播已被广泛研究。在石墨烯平行板波导中发现了准横电磁模式；在石墨烯-介质多层结构中研究了SPPs耦合；单层石墨烯周期阵列紧密排列时会产生强耦合。

大量研究致力于石墨烯-介质非线性复合结构的光学性质，因其在微纳尺度控制光传播方面潜力巨大。单层石墨烯与Kerr型非线性衬底界面的表面等离子体研究表明，调节衬底非线性介电常数可调谐石墨烯等离子体波长。石墨烯-非线性介质多层结构中石墨烯等离子体的传播与局域性质被探讨，获得了石墨烯平行板波导TM表面等离子体的精确色散关系。通过调节非线性介电常数，传播长度和局域长度受显著影响。近期在石墨烯包覆Kerr板结构中推导出对称和反对称等离子体模式的色散关系，除典型前向传播模式外，还发现对称和反对称模式。

基于石墨烯的强非线性，预测了多种非线性光学效应。Nesterov等人研究了石墨烯单层中的非线性光传播，发现石墨烯单层因本征非线性可在光频支持TE和TM空间光孤子。Smirnova等人用多层石墨烯替代单层，研究了石墨烯片堆叠的非线性性质，推导了描述非线性等离子体空间动力学的方程。先前研究多聚焦于单一非线性对石墨烯-介质结构光性质控制的影响。双非线性控制概念在石墨烯基光子超晶格中被引入，实现了深亚波长精度的电控和全光控制光子束。然而，石墨烯-介质等离子体结构中双非线性对模式和色散性质的控制仍有许多开放问题。因此，本文在石墨烯-介质-石墨烯波导中同时考虑石墨烯和介质的非线性，研究双非线性对模式耦合和色散性质的影响。

理论模型与方法

石墨烯-非线性介质等离子体波导示意图如图1所示：导电率为σ_g的石墨烯平行板置于x=±d/2处，介质为Kerr型介质，介电常数ε=ε_L+α|E|²。因石墨烯厚度为单原子层量级，将其视为边界。考虑沿z方向传播、沿x方向指数衰减进入空气和非线性介质的TM偏振SPPs，传播常数为β。

TM偏振下存在三个场分量E_x、E_z、H_y。磁场H=H_yŷ，电场E=E_xx̂+E_zẑ满足方程：

dE_z/dx = iωμ₀H_y + iβE_x (1)

iβH_y = -iωε₀εE_x (2)

dH_y/dx = iωε₀εE_z (3)

其中ε₀、μ₀为真空介电常数和磁导率。由式(2)和ε=ε_L+α|E|²可得：

ε²E_x² = β²/(ω²ε₀²)H_y² (4)

E_x² = (ε-ε_L-αE_z²)/α (5)

将式(5)代入式(4)：

ε³-(ε_L+αE_z²)ε²-αβ²/(ω²ε₀²)H_y²=0 (6)

对三次方程x³+bx²+cx+d=0 (7)，判别式Δ = b²c²-4c³-4b³d+18bcd-27d² (8)。令b=-(ε_L+αE_z²)、c=0、d=-αβ²H_y²/(ω²ε₀²)，可证Δ<0，即式(6)仅有一实根。由Cardano法，实根为：

x = -b/3 + ³√(-q/2+√((p/3)³+(q/2)²)) + ³√(-q/2-√((p/3)³+(q/2)²)) (10)

其中p=c-b²/3，q=d-bc/3+2b³/27。利用式(10)求得ε，代入式(2)(3)以弛豫法数值求解常微分方程组。

结果与讨论

由E_z和H_y连续性要求，边界条件x=±d/2处满足E_1z=E_2z、H_2y-H_1y=σ_gE_z。石墨烯面导电率σ_g由Kubo公式决定，含带间和带内跃迁贡献。THz和远红外频段下，带内跃迁主导，σ_g可简化为Drude模型：

σ_g = e²μ_c/(πħ²)·i/(ω+iτ⁻¹) (11)

其中e为电子电荷，μ_c为石墨烯化学势，ω为频率，τ为动量弛豫时间。该模型适用于低温极限(k_BT≪μ_c)和低频(ħω≤μ_c)。强场条件下需考虑非线性导电率部分，石墨烯总导电率为：

σ_g = σ_L + σ^NL|E_τ|² (12)

其中E_τ为电场切向分量，σ^NL为非线性导电率：

σ^NL = -i(3/8)e²/(πħ²)(eν_F/μ_cω)²·μ_c/ω (13)

ν_F=0.95×10⁸ cm/s为费米速度。因石墨烯面导电率仅在THz和远红外段可简化为Drude型，故选取入射波长λ=10 μm。其他参数固定：ε₁=1、ε_L=2.25、α=5×10⁻¹⁶ (m/V)²、E_F=0.27 eV、τ=1.5 ps。线性石墨烯-介质-石墨烯结构存在对称和反对称两种模式。下文将讨论非线性对复合结构模式分布的影响。

设H_0为入射界面初始磁场分量，数值求解方程组(1-3)得初始磁场强度H_0与传播常数β关系（图2）。归一化传播常数k_F=√(πn)以费米动量为单位，n=6×10¹² cm⁻²为载流子密度。实线为仅考虑介质非线性，虚线为同时考虑双非线性。两种情况模式性质相同，均支持三阶模式。但双非线性情况下初始场强度明显降低。虽支持三模式，但无法区分各支对应对称、反对称或非对称模式。为确定各支模式性质，绘制了图2中A、B、C、D点对应的电场和磁场分布（图3）。

黑虚线支对应A点（图3a,b），介电常数和E_z分布对称，故为对称模式。红虚线支对应B点（图3c,d），介电常数分布对称但E_z反对称，为反对称模式。蓝虚线支对应C、D点（图3e-h），磁场和电场分布均不对称，为非对称模式，且不对称电场导致介电常数分布不对称。

进而讨论介质和石墨烯非线性对色散关系的影响。图4展示固定初始磁场(H_0=300 A/m)下不同化学势和介质非线性系数的色散关系。图4a-c为仅考虑介质非线性时介质非线性系数对色散关系的影响。α=0、σ^NL=0时退化为线性结构。图4a中线性情况下仅存在对称(黑实线)和反对称(红实线)模式。α非零时，如图4b、c所示，结构中出现非对称模式(支III)。随着α进一步增大，其对色散性质影响减弱。

随后同时引入双非线性，固定介质非线性系数α=5×10⁻¹⁶ (m/V)²，讨论石墨烯非线性对色散关系的影响（图4d-f）。对比图4d与图4c，发现三个支均出现色散关系回折现象。由式(13)，石墨烯非线性可通过调节化学势控制。石墨烯非线性从μ_c=0.27 eV增至0.16 eV时(图4e)，色散关系回折点上移。更强非线性(μ_c=0.10 eV，图4f)下，仅对称模式存在并形成闭合回路。图4表明：仅考虑介质非线性时，色散关系呈三支且随α增加几乎不变；引入石墨烯非线性后出现回折现象；特定H_0和化学势下，色散关系仅呈现具有闭合回路的对称模式。

结论

综上，本文研究了石墨烯-介质非线性等离子体波导的模式与色散性质。通过数值求解TM偏振下的麦克斯韦方程获得模式分布、介电常数和色散关系。与仅考虑介质非线性相比，同时考虑双非线性时初始场强度显著降低。双非线性显著影响波导色散性质，特别是石墨烯非线性增强时，反对称和非对称模式融合并逐渐消失，仅存对称模式。这一发现对低阈值全光开关等器件设计具有指导意义。