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纳米团簇的神奇数学关系——勘误表和附录

摘要

我们修正了体心立方 (bcc) 结构的魔法公式。对几种晶体结构的径向分布函数 (RDF) 的计算进一步证实了这一点的逻辑合理性。我们添加了可能在自然界中发现的截断立方体的结果。

介绍

我们最近提出了几种晶体纳米团簇的神奇公式 [1]。然而,晶体学家都知道 bcc 结构的体配位为 8。 RDF 从中心点确定最近的邻居峰,积分峰强度反映了这些邻居的相应协调。我们使用一种既定的方法 [2] 来计算几个晶体的 RDF。由于理想的 bcc 立方体具有协调性 cn =1,我们提供截断的 bcc 和面心立方 (fcc) 簇的结果。

正文

在回顾 [1] 中出现的许多神奇公式时,我们发现定义邻接矩阵的方程 (1) 取决于晶体结构。

$$ \mathbf{A}(i,j)=\left\{\begin{array}{ll} 1&\text{if}\ r_{ij} 在这里,r ij 是原子 i 之间的欧几里得距离 和原子 j .虽然 r 确实如此 c =1.32·r min 对于十二面体结构中的不同键长是必要的,对于 bcc 结构,情况并非如此。我们已经计算了 [2] 选定结构的 RDF,下面列出了一些最近的邻居(表 1)。 RDF在相邻站点有峰值位置,对应峰值的积分强度给出协调。我们将 R 中的峰值归一化 (r ) 除以第一个峰值,因此峰值位置变得无量纲。如表所示,bcc 结构具有 \(r_{c} =2/\sqrt {3} \cdot r_{\text {min}} \approx 1.15 \cdot r_{\text {min}}\),这意味着必须改变邻接矩阵,从而改变魔法公式。请注意,相邻峰与产生“幻数”的壳不同。十二面体是一个复杂的情况,第三个邻居出现在 r 2=1.31·r 分钟此案例具有挑战性,需要更多分析,目前正在进行中。校正后的 bcc 结果如下所示(表 2、3、4、5 和 6)。这些结果与 van Hardeveld 和 Hartog [3] 中的结果一致,如果将索引移一,即我们使用序列 0, 1, 2... 而他们使用 1, 2, 3... 作为他们的序列。虽然完美立方体在数学上可能很有趣,但由于角落处的单键,它们不太可能出现在自然界中。因此,我们生成了去除角的截断 bcc 和 fcc 立方体,其结果包含在(表 7 和 8)中。表 9 总结了所选聚类的索引魔术公式。

结论

我们更正了 bcc 结构的魔法公式,并添加了 RDF 和截断 bcc 和 fcc 立方体的结果。

数据和材料的可用性

支持本文结论的数据集可从通讯作者处获取。

缩写

密件抄送:

体心立方

fcc:

面心立方

RDF:

径向分布函数


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