掌握联立方程：代入法与加减法分步指南

什么是联立方程与方程组？

联立方程 和 方程组 指的是两个或多个未知变量通过相同数量的方程相互关联的条件。

示例：

对于这组方程，只有一组 x 和 y 的值能同时满足两个方程。

单独考虑任一方程，都有无数个有效的 (x,y) 解，但 联合起来 只有唯一解。在图上这变得显而易见：

每条线实际上是一个连续体，代表各自方程可能的 x 和 y 解对。两条线性函数 x + y = 24 和 2x - y = -6 只有一个交点，即 x = 6，y = 18。

通常绘图不是求解两个或更多方程联立解集的有效方法，尤其对于三个或更多变量的系统更不切实际。三变量系统的解是三维坐标空间中三个平面的交点——难以直观呈现。

使用代入法求解联立方程

存在多种代数技巧求解联立方程，其中 代入法 最易理解。

以我们的二元示例为例：

在代入法中，我们操作其中一个方程，使一个变量用另一个变量表示：

然后将这个新的变量 定义 代入另一个方程中同一变量的位置。这里我们取 y = 24 - x 的定义，代入另一个方程中的 y 项：

现在我们得到一个只含单一变量 x 的方程，可用常规代数技巧求解：

已知 x 后，将其代入任一原方程即可求得 y。为省力，可代入刚生成的 y 关于 x 的表达式：

将代入法应用于三个或更多变量的系统模式相似，只是工作量更大。通常任何解法的步骤都随变量增加而快速增长。

求解三个未知数至少需要三个方程。考虑以下例子：

第一个方程系数最简单（x、y、z 的系数分别为 1, -1, 1），适合用来建立一个变量关于其他两个的定义。解得 x 用 y 和 z 表示：

将这个 x 的定义代入其他两个方程中 x 出现的位置：

化简这两个方程至最简形式：

至此，系统已从三变量三方程简化为两变量两方程。现在对 4y - z = 4 和 -3y + 4z = 36 再次应用代入法。先由第一个方程表示 z 关于 y：

将这个 z 的定义代入另一个方程中 z 的位置：

得知 y 后，代入定义 z 的方程求得 z：

最后将 y 和 z 的值代入定义 x 的方程，得 x：

最终得到满足三个方程的解：x = 2，y = 4，z = 12。

使用加减法求解联立方程

虽然代入法在概念上最易掌握，但还有其他方法。加减法 通过将方程相加来消去变量项。

再次使用演示代入法的二元系统：

代数基本规则：可对方程两边进行相同的算术运算而不改变其真值。对加法而言，即可向方程两边加上相同量。我们可以将两个方程对应两边相加形成新方程。因为每个方程都是等式，左边加左边、右边加右边是有效的。

在示例中，将 x + y 与 2x - y 相加，24 与 -6 相加，形成新方程。观察发生的变化：

由于第一个方程含 +y，第二个含 -y，相加时 y 项抵消，得到仅含 x 的新方程，易于求解：

得知 x 后，代入原方程即可求得 y。

并非总是如此简单。考虑下面这组方程：

直接相加虽合法但无益，结果仍含两个未知数：

但若能操作一个方程，使其含有可抵消另一方程对应项的负项，则系统将简化为单变量方程。若将下方程的 y 项变为 -2y，相加时两 y 项抵消。这很容易做到：将下方程每项乘以 -2：

将新方程与原上方程相加：

解得 x = 3：

将此值代入原方程之一，易得 y：

在三变量系统中使用此技巧稍复杂。同代入法一样，需先将三方程三变量系统化为两方程两变量，再化为单变量方程。演示使用代入法部分的三变量系统：

首个方程各变量系数均为 1，易于操作作为消元工具。例如欲消去中间方程的 3x 项，只需将首个方程每项乘以 -3 后加到中间方程：

同理消去底部方程的 -5x 项：首个方程每项乘以 5 后加到底部方程，得仅含 y 和 z 的新方程：

现在得到两个含相同两未知数 y、z 的方程：

显然上方程的 -z 项可用于消去下方程的 4z 项：将上方程每项乘以 4 后相加：

由新方程 13y = 52 解得 y = 4。代入两变量方程之一求得 z。再将 y、z 代入任一原三变量方程求得 x。最终结果（省略代数步骤）为 x = 2，y = 4，z = 12。

相关工作表：

• 电路分析联立方程工作表