电路分析中的补偿定理：证明、解析与实例

补偿定理在电路分析中的证明、解释、实验与求解实例

补偿定理

网络理论中，有时需研究某支路阻抗变化对网络相应电压、电流的影响。补偿定理提供此类变化的分析信息。

补偿定理基于欧姆定律。根据欧姆定律，电流流过电阻产生电压降，该电压降与电源电压极性相反。因此，在该支路串联一个极性与电源相反、幅值等于该电压降的额外电压源。补偿定理即基于此概念。

补偿定理表述为：

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补偿定理解释

为理解补偿定理，请参考下图。

图中电压源 V 为独立电压源，Z₁、Z₂ 为线性/双边元件，故可应用补偿定理。回路电流为 I。

现假设 Z₂ 增加 ΔZ，回路电流变为 I'。新电路图如下。

阻抗变化引起的电流变化记为 ΔI：

ΔI = I – I'

按补偿定理，可直接计算 ΔI。需修改电路：

第一，在阻抗变化支路串联电压源 IΔZ，极性与主电源相反。此新增电压源 V_C 称补偿电源：

V_C = I ΔZ

第二，用内阻代换原电压源。理想电压源时短路其端子。修改后电路如下。

求解上述电路即可得阻抗变化后的电流变化。

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补偿定理证明

参考图-1，计算回路电流 I。对图-1 应用 KVL：

假设 Z₂ 变化 ΔZ，修正电路如图-2，计算新回路电流 I'。对图-2 应用 KVL：

电流变化 ΔI = I – I'。

现考虑下图（补偿定理实施后电路）：原电压源短路（理想源）。

求此回路电流 I'' 并与上述 ΔI 比较。对上图应用 KVL：

V_C = Z₁I'' + (Z₂ + ΔZ)I''

V_C = I''(Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = V_C / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = ΔI

证毕：修正后电流变化 ΔI 与补偿定理计算结果一致。

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补偿定理实验

目的： 验证补偿定理并求电流变化。

器材： 电压表、电流表、电阻、连接线、面包板。

电路图：

步骤：

步骤1 按图-5 连接面包板。
步骤2 测量电流 I。
步骤3 按图-6 连接（额外串联电阻）。
步骤4 测量电流 I₁。
步骤5 由 I、I₁ 计算 ΔI。
步骤6 按图-7 连接补偿电路。
步骤7 测量电流 I''。
步骤8 比较 ΔI 与 I''。

实验记录表：

序号	I	I1	ΔI	I''
1

结果： 比较 I'' 与 ΔI 可验证补偿定理。

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补偿定理实例

实例-1

• 1) 求电阻 3Ω 时支路 AB 电流。
• 2) 用补偿定理求 3Ω 变 9Ω 时支路 AB 电流。
• 3) 验证补偿定理。

解-1

图中 6Ω 与 3Ω 并联，再与 3Ω 串联。等效电阻：

R_Eq = 6 || 3 + 3

R_Eq = 2 + 3 = 5 Ω

由欧姆定律：

10 = I(5) → I = 2 A

求支路 AB 电流，用分流公式：

I' = 1.333 A (即 4/3 A)

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解-2

按补偿定理，将 3Ω 替换为 9Ω 并串联补偿电压源 V_C：

V_C = I' ΔZ

ΔZ = 9 – 3 = 6 Ω，I' = 4/3 A

V_C = (4/3) × 6 = 8 V

补偿电路如下：

等效电阻：3Ω || 6Ω 并联再串 9Ω：

R_Eq = 3 || 6 + 9 = 2 + 9 = 11 Ω

由欧姆定律：

8 = ΔI (11) → ΔI = 8/11 = 0.7272 A

补偿定理得电流变化 0.7272A。

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解-3

验证定理：直接计算 9Ω 时电路电流。修正电路图：

9Ω || 6Ω 并联再串 3Ω：

R_Eq = 9 || 6 + 3 = 99/15 = 6.66 Ω

10 = I(6.66) → I = 1.5151 A

分流规则求支路电流：

I'' = 0.6060 A

ΔI = I' – I'' = 1.333 – 0.6060 = 0.7273 A

补偿定理计算 ΔI 与原电路直接计算 ΔI 一致，定理得证。

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实例-2

下图电路中，用补偿定理求 3Ω 替换为 7Ω 时的电流变化，并验证定理。

该网络仅含电阻和独立电流源，适用补偿定理。由分流规则求 3Ω 支路电流：

I = 70/10 = 7 A

原网络中 3Ω 支路电流 3A。现变为 7Ω，求电流变化 ΔI。

构造补偿网络：移除所有独立源（电压源短路，电流源开路）。本网络仅一理想电流源，开路后无需加内阻。再串联补偿电压源 V_C：

V_C = I ΔZ = 7 × (7 – 3) = 28 V

补偿网络如下：

仅单回路，流过 7Ω 支路电流即 ΔI：

ΔI = V_C / (7+7) = 28/14 = 2 A

验证：直接计算 7Ω 时电路电流。修正电路：

I'' = (10×7)/(7+7) = 70/14 = 5 A

分流规则得支路电流 5A，ΔI = 7 – 5 = 2 A，与补偿定理结果一致，定理得证。

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