MATLAB 微积分入门：极限计算、性质验证与单侧极限

MATLAB 提供符号计算工具解决微积分问题：极限、导数、微分方程、积分。本章聚焦极限。

极限计算

limit 函数计算极限。基本形式求自变量趋近 0 的极限：

syms x
limit((x^3+5)/(x^4+7))  % ans = 5/7

指定趋近值 a：limit(expr, a)。

limit((x-3)/(x-1), 1)  % NaN（不存在）
limit(x^2+5, 3)        % 14

Octave 极限计算

需 pkg load symbolic，用 subs 代入近似：

pkg load symbolic; symbols; x=sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)  % 0.7142857

极限基本性质验证

代数极限定理：设 f(x)=(3x+5)/(x-3)，g(x)=x²+1，验证 x→4 时性质。

syms x
f = (3*x+5)/(x-3); g = x^2+1;
l1 = limit(f,4)    % 17
l2 = limit(g,4)    % 17
lAdd = limit(f+g,4) % 34
lSub = limit(f-g,4) % 0
lMult = limit(f*g,4) % 289
lDiv = limit(f/g,4) % 1

满足：极限和/差/积/商 = 和/差/积/商的极限。

Octave 验证

pkg load symbolic; symbols; x=sym("x");
f=(3*x+5)/(x-3); g=x^2+1;
subs(f,x,4)  % 17.0 等同 MATLAB

左/右极限与不存在判定

函数在断点处左右极限不等则极限不存在。以 f(x)=(x-3)/|x-3| 为例：

f = (x-3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])  % 图示断点
l = limit(f,x,3,'left')   % -1
r = limit(f,x,3,'right')  % 1

左右极限不等（-1 ≠ 1），故 x→3 极限不存在。图像显示跳跃间断。

MATLAB 代数方程求解：solve、因式分解与化简 MATLAB 符号求导全攻略：diff 命令、求导法则、高阶导数与极值

MATLAB