MATLAB - 集成
集成处理两种本质上不同类型的问题。
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在第一种类型中，给出了函数的导数，我们想要找到该函数。因此，我们基本上扭转了分化的过程。这个逆过程称为反微分，或求原函数，或求不定积分 .
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第二种类型的问题涉及将大量非常小的数量相加，然后在数量的大小接近零时取一个极限，而项的数量趋于无穷大。这个过程导致了定积分的定义 .
定积分用于求面积、体积、重心、惯性矩、力所做的功，以及许多其他应用。
使用 MATLAB 求不定积分
根据定义，如果函数 f(x) 的导数是 f'(x)，那么我们说 f'(x) 关于 x 的不定积分是 f(x)。例如，由于 x 2 的导数（关于 x） 是 2x，我们可以说 2x 的不定积分是 x 2 .
在符号中 -
f'(x 2 ) =2x ，因此，
∫ 2xdx =x 2 .
不定积分不是唯一的，因为 x 2 的导数 + c，对于常数 c 的任何值，也将是 2x。
这用符号表示为 -
∫ 2xdx =x 2 + c .
其中，c 被称为“任意常数”。
MATLAB 提供了一个 int 用于计算表达式积分的命令。为了导出函数不定积分的表达式，我们写 -
int(f);
例如，在我们之前的例子中 -
syms x int(2*x)
MATLAB 执行上述语句并返回以下结果 -
ans = x^2
示例 1
在这个例子中，让我们求一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 -
syms x n int(sym(x^n)) f = 'sin(n*t)' int(sym(f)) syms a t int(a*cos(pi*t)) int(a^x)
当您运行该文件时，它会显示以下结果 -
ans = piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)]) f = sin(n*t) ans = -cos(n*t)/n ans = (a*sin(pi*t))/pi ans = a^x/log(a)
示例 2
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 -
syms x n int(cos(x)) int(exp(x)) int(log(x)) int(x^-1) int(x^5*cos(5*x)) pretty(int(x^5*cos(5*x))) int(x^-5) int(sec(x)^2) pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2)) int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2) pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
请注意，漂亮 函数以更易读的格式返回表达式。
当您运行该文件时，它会显示以下结果 -
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ------------
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2
使用 MATLAB 求定积分
根据定义，定积分基本上是和的极限。我们使用定积分来求面积，例如曲线与 x 轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定积分也可以用在其他情况下，其中所需的数量可以表示为和的极限。
int 通过传递要计算积分的限制，函数可用于定积分。
计算
我们写，
int(x, a, b)
例如，要计算的值 
我们写——
int(x, 4, 9)
MATLAB 执行上述语句并返回以下结果 -
ans = 65/2
以下是上述计算的八度等价 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave 执行代码并返回以下结果 -
Area: 32.500
可以使用 Octave 提供的 quad() 函数给出替代解决方案，如下所示 -
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave 执行代码并返回以下结果 -
Area: 32.500
示例 1
让我们计算 x 轴和曲线 y =x 3 之间的面积 -2x+5 和纵坐标 x =1 和 x =2。
所需区域由 -
给出
创建一个脚本文件并输入以下代码 -
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
当您运行该文件时，它会显示以下结果 -
a = 23/4 Area: 5.7500
以下是上述计算的八度等价 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave 执行代码并返回以下结果 -
Area: 5.7500
可以使用 Octave 提供的 quad() 函数给出替代解决方案，如下所示 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave 执行代码并返回以下结果 -
Area: 5.7500
示例 2
求曲线下面积：f(x) =x 2 -4 ≤ x ≤ 9 的 cos(x)。
创建一个脚本文件并编写以下代码 -
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
运行文件时，MATLAB 会绘制图形 -
输出如下 -
a = 8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Area: 0.3326
以下是上述计算的八度等价 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
MATLAB