MATLAB 积分完全指南：不定/定积分、面积计算与符号/数值方法

积分分两类问题：

已知导函数求原函数 → 不定积分（反导数）
无限细分求和极限 → 定积分（面积、体积、物理量等）

不定积分

若 f'(x²)=2x，则 ∫2x dx = x² + C。MATLAB 用 int(f) 求不定积分。

syms x; int(2*x)  % x^2

常见表达式积分

syms x n
int(x^n)           % 分段：n=-1 时 log(x)，否则 x^(n+1)/(n+1)
int(sin(n*t))      % -cos(n*t)/n
int(a*cos(pi*t))   % a*sin(pi*t)/pi
int(a^x)           % a^x/log(a)

更多示例

int(cos(x))           % sin(x)
int(exp(x))           % exp(x)
int(log(x))           % x*(log(x)-1)
int(x^-1)             % log(x)
int(x^5*cos(5*x))     % 含多项式与三角函数的长表达式
pretty(int(x^5*cos(5*x)))  % 格式化显示
int(x^-5)             % -1/(4*x^4)
int(sec(x)^2)         % tan(x)
pretty(int(1-10*x+9*x^2))  % x*(3x²-5x+1)
int((3+5*x-6*x^2-7*x^3)/(2*x^2))  % 有理函数积分

定积分

语法：int(f, a, b) 计算 ∫ₐᵇ f(x)dx。

int(x, 4, 9)  % 65/2 = 32.5

Octave 数值积分用 polyint+polyval 或 quad。

示例 1：曲线下面积

y = x³-2x+5，x∈[1,2]。

f = x^3-2*x+5; a = int(f,1,2); double(a)  % 5.75

示例 2：震荡函数面积

f(x)=x²cos(x)，x∈[-4,9]。

f = x^2*cos(x); ezplot(f,[-4,9]);
a = int(f,-4,9); double(a)  % 0.3326

Octave 用 quad 数值积分得相同结果。

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