掌握 MATLAB 中的特征值和特征向量：实用指南

特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，广泛应用于物理、工程和数据分析等各个领域。在 MATLAB 中，可以轻松探索和计算这些概念。

什么是特征值？

特征值是一个标量，表示为 (lambda)，与向量空间的线性变换相关。它表示变换过程中相应特征向量缩放的因子。

什么是特征向量？

特征向量是一个非零向量，当对其应用线性变换时，它仅改变标量因子。换句话说，如果 A 是矩阵，则 v 是 A 的特征向量，对应于特征值 if -

AV=v

这里，A是方阵，v是特征向量， 是特征值。

MATLAB 函数

MATLAB 提供内置函数来计算特征值和特征向量。

使用 eig

该函数计算矩阵的特征值和特征向量。

语法

语法解释

e =eig(A) 返回一个包含方阵 A 特征值的列向量。

[V,D] =eig(A) 返回具有 A 特征值的对角矩阵 D 和矩阵 V，其列是相应的特征向量。这意味着 A 乘以 V 与 V 乘以 D 相同。

[V,D,W] =eig(A) 还返回一个完整矩阵 W，其列是相应的左特征向量。这意味着将 W 的转置乘以 A 与将 D 乘以 W 的转置相同。

特征值问题是寻找方程 Av =v 的解，其中 A 是方阵，v 是列向量，v 是标量。满足这个方程的值是特征值，满足它的v值是右特征向量。左特征向量w满足方程w'A =w'。

e =eig(A,B) 返回具有方阵 A 和 B 的广义特征值的列向量。

[V,D] =eig(A,B) 返回具有广义特征值的对角矩阵 D 和一个满矩阵 V，其列是相应的右特征向量。这意味着 A 乘以 V 与 B、V 和 D 相乘相同。

[V,D,W] =eig(A,B) 还返回一个完整矩阵 W，其列是相应的左特征向量。这意味着将 W 的转置乘以 A 与将 D、W 的转置和 B 相乘相同。

广义特征值问题是求方程 Av =Bv 的解，其中 A 和 B 是方阵，v 是列向量，v 是标量。满足该方程的值是广义特征值，v值是相应的右特征向量。左特征向量 w 满足方程 w'A =w'B。

[___] =eig(A,balanceOption)，其中balanceOption为“nobalance”，关闭算法中的初步平衡步骤。默认情况下，balanceOption为“balance”，这会打开平衡。 eig 函数可以返回前面示例中提到的任何输出参数。

[___] =eig(A,B,algorithm)，其中算法为“chol”，使用 B 的 Cholesky 分解来计算广义特征值。默认算法取决于A和B的属性，但当A或B不对称时，它是“qz”（QZ算法）。

[___] =eig(___,outputForm) 使用前面提到的任何输入或输出参数，以 outputForm 指定的格式返回特征值。将outputForm设置为“vector”以获取列向量中的特征值，或设置为“matrix”以获取对角矩阵中的特征值。

Matlab 函数 eig() 示例

以下是一些示例来说明如何使用它 -

示例 1：使用 e =eig(A) 计算特征值

在 MATLAB 中，您可以使用 eig 函数求出矩阵 A 的特征值。考虑以下代码 -

在上面的例子中 -

• 矩阵 A 定义为 3x3 矩阵，其条目如图所示。
• eig(A) 函数计算矩阵 A 的特征值。
• eig(A) 的结果存储在变量 e 中，它是一个包含 A 特征值的列向量。

当计算代码时，我们得到的输出如下 -

示例 2：使用 [V,D] =eig(A) 获取 eigenValues 和 eigenVectors

在MATLAB中，您可以使用eig函数求矩阵A的特征值和特征向量。

考虑以下代码 -

在上面的代码中，我们有 -

• 矩阵 A 定义为 2x2 矩阵，其条目如图所示。
• [V, D] =eig(A) 函数计算矩阵 A 的特征值 (D) 和相应的特征向量 (V)。
• D 是包含 A 特征值的对角矩阵。
• V 是一个矩阵，其列是相应的特征向量。

当代码执行时，我们得到的输出如下 -