解码电子学中的数字与符号

数量的数值表达是我们习以为常的事。在电子学研究中，这既是好事也是坏事。

好处在于，我们习惯用数字进行电路分析所需的各种计算和操作。

坏处在于，从小学学到的记数系统不是现代电子计算设备内部使用的系统，学习任何不同记数系统都需要重新审视根深蒂固的假设。

数

首先，必须区分数与表示数的符号。数是数学量，在电子学中通常关联电压、电流、电阻等物理量。数有多种类型，例如：

整数（自然数）：
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...

整数（含负数）：
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...

无理数：
π (约 3.1415927)，
e (约 2.718281828)，
任意质数的平方根

实数：
(所有一维数值，正负、零、整数、无理数皆含)

复数：
3 - j4 ，34.5 ∠ 20°

不同类型的数在物理世界有不同应用。整数适合计数离散对象，如电路中电阻数量。需要整数负值时用整数。

无理数不能精确表示为两整数之比，圆周率 π 是典型物理例证。我们在直流电路常用的非整数电压、电流、电阻可用实数表示，采用分数或小数形式。

交流电路分析中，实数无法捕捉幅值与相位的双重本质，故转用复数，以矩形或极坐标形式表示。

符号

若要用数理解物理过程、作科学预测或记账，必须有象征性表示法。

换言之，我们可能知道账户余额，但要记录它，需要一套系统在纸上或其他形式上象征该量，用于记账追踪。 

模拟与数字

有两种基本方式：模拟和数字。模拟表示中，量以无限可分方式象征。数字表示中，量以离散打包方式象征。

模拟表示

你可能已熟悉模拟表示的钱而不自知。见过募捐海报上画温度计，红色柱高表示筹款额吗？钱越多，红柱越高。

这是数的模拟表示例。红柱高度无实际极限可精细分割以象征账户金额。改变高度不改变其本质。

长度可任意细分、无实际极限。计算尺用同一物理量——长度——表示数并辅助多数算术运算。它也是模拟设备。

数字表示

同一货币数字的数字表示，用标准符号（称数码）写成：

$35,955.38

不同于温度计红柱，这些符号不可细分：该特定数码组合仅代表一个量。

若存入更多钱 (+$40.12)，必须用不同符号表示新余额 ($35,995.50)，或至少重新排列相同符号。这是数字表示例。

计算尺（模拟）的对应物也是数字设备：算盘，珠子在竿上滑动象征数量：

模拟与数字表示的对比

模拟                              数字
------------------------------------------------------------------
直观易懂  ----------- 需训练解读
无限可分 -------------- 离散
易生精度误差 ------ 绝对精度

我们习以为常地解读数字符号，因已学多年。但若向不识十进制数字的人传达数量，他仍能理解简单温度计图表！

无限可分 vs 离散、精度对比实为同一硬币两面。数字表示由离散符号（十进制数码、算盘珠）组成，必然能精确步进象征量。

模拟表示（如计算尺长度）非由离散步进组成，而是连续运动范围。计算尺无限分辨率的代价是不精确。

碰一下计算尺，录入的数表示就生误差。但算盘需猛烈碰撞才能使珠子完全脱位（足以代表不同数）。

请勿误解精度差异以为数字表示必比模拟更准。数字时钟不意味读时必比模拟表更准，仅意味着其显示解读歧义更小。

模拟与数字可分性可借无理数表示进一步阐明。π 等数称无理数，因不能精确表示为整数分数。

虽你可能学过 22/7 可作 π 近似，但这仅是近似。实际“π”无法用任何有限小数位精确表达。π 数字无尽：

3.1415926535897932384 ...

理论上可设计计算尺（甚至温度计柱）完美表示 π，因模拟符号无最小增减限度。

若计算尺显示 3.141593 而非 3.141592654，可再微推一点逼近。但数字表示如算盘，需额外竿（位/数码）表达更高精度 π。

10 竿算盘仅能表示 π 的 10 位数字，无论怎么拨珠。完美表示 π 需无限珠竿！代价是调读模拟符号的实际限制。

实际中，人眼与刻度粗糙限制计算尺读数至第 10 位精度。算盘则可零解读误差地设置和读取。

此外，模拟符号需某种标准以便精确比较解读。计算尺刻度印标尺将长度转为标准量。温度计图表高度旁标数字显示红柱代表金额。想象我们用手张开距离传达数字：1 代表 1 英寸，2 代表 2 英寸...若有人张开 17 英寸代表 17，旁人能准确解读为 17 吗？大概率不能。有人猜短 (15/16)，有人猜长 (18/19)。吹牛渔夫不介意高估！

或许这正是人们普遍采用数字符号表示数的原因，特别是整数和整数，它们在日常生活最常用。

用手指可直接象征 0-10 整数。在纸、木、石上划计数记号也能轻松表示同量：

但大数时，“计数记号”记数制太低效。