MATLAB 变换详解：拉普拉斯、傅里叶与快速傅里叶变换

MATLAB 提供 laplace、fourier、fft 命令处理变换。变换将时域信号转频域、微分方程转代数方程，简化分析。

拉普拉斯变换

定义：F(s)=∫₀^∞ f(t)e^{-st}dt。将 f(t) 转为 F(s)。

命令：laplace(f(t))。

常用函数变换

syms s t a b w
laplace(a)        % 1/s^2 (注：原文结果似有误，常数 a 变换应为 a/s)
laplace(t^2)      % 2/s^3
laplace(t^9)      % 362880/s^10
laplace(exp(-b*t)) % 1/(b+s)
laplace(sin(w*t)) % w/(s^2+w^2)
laplace(cos(w*t)) % s/(s^2+w^2)

逆拉普拉斯变换

命令：ilaplace(F(s))。

ilaplace(1/s^3)  % t^2/2

傅里叶变换

将时域 f(t) 转频域 F(ω)。命令：fourier(f)。

示例：高斯函数

syms x
f = exp(-2*x^2);
ezplot(f,[-2,2])  % 时域图
FT = fourier(f)   % (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2
ezplot(FT)        % 频域图（亦为高斯）

逆傅里叶变换

命令：ifourier(F)。

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))  % -2/(pi*(x^2+1))

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