米尔曼定理：交直流电路分析分步指南与实例
米尔曼定理在交直流电路中的应用——分步求解实例
米尔曼定理
米尔曼定理适用于仅含并联支路的电路分析，用于计算电路端部电压。仅适用于并联网络电路。
米尔曼定理结合了戴维南定理与诺顿定理，亦称并联发电机定理。由电气工程教授雅各布·米尔曼提出，以其命名。
米尔曼定理表述：
即可求解给定网络并联支路两端电压。当多电源并联如下图所示时，该定理简化网络复杂度。
根据米尔曼定理，负载两端电压为：
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数学方程推导
如图，电路含n个电压源(E1、E2、E3、…、En)，内阻分别为R1、R2、R3、…、Rn。米尔曼定理可将其等效为下图网络：
需求等效电压源(E)与等效电阻(R)。上图类似戴维南等效电路，故电压源(E)即戴维南等效电压(VTH)，等效电阻即戴维南等效电阻(RTH)。
为简化计算，求诺顿等效电路：做电源变换，将所有电压源转为电流源。
电压源串联内阻变换后成电流源并联内阻。电路转为下图：
依欧姆定律，电流源值为E1/R1、E2/R2、E3/R3、…、En/Rn。求诺顿等效电流(IN)：短路负载端子，求流过支路电流。
节点A1电流分两径：经R1与短路支路。电流趋向低阻径路，故全流经短路支路，流经电阻电流为零。
同理节点A2、A3、…、An各电阻电流均为零。
节点A2汇集A1电流，A3汇集A2电流……节点An汇集所有节点电流。总电流为所有电流代数和，即诺顿电流(IN)。
求诺顿等效电阻：移除所有能量源(电流源开路、电压源短路)。
上图仅含电流源，开路移除。再移除负载计算等效电阻。剩余电路如下：
所有电阻并联，并联组合即等效电阻：
Req = RN = R1 || R2 || R3 … || Rn
代入诺顿等效电路：
转为戴维南等效电路，由诺顿电流IN与诺顿电阻RN求E与R：
依欧姆定律：E = IN × RN
推广至n支路通式：
得电压源值，等效电阻等于诺顿等效电阻，即得米尔曼等效电路(图2)。
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米尔曼定理应用步骤
步骤1 米尔曼定理仅适用于多并联支路网络。假设需求解含多并联支路(电压源串联内阻)电路。
步骤2 列出串联内阻/电阻与电压源清单。
步骤3 短路电压源、开路负载端子，求负载端等效电阻(R)。
步骤4 应用米尔曼定理(公式1)求负载端电压(E)，即负载两端电压。
步骤5 将R、E代入米尔曼等效电路(图2)。
步骤6 对回路应用KVL求负载电流。
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米尔曼定理分析直流电路
实例 #1
用米尔曼定理求负载端电流与电压。
步骤1 观察上图四支路并联，适用米尔曼定理。
步骤2 除负载支路外三支路，列出电压与电阻：
E1 = 12V, R1 = 2Ω
E2 = 0V, R2 = 4Ω
E3 = 16V, R3 = 4Ω
步骤3 求等效电阻：短路电压源、开路负载，剩余电路如下：
Req = 1Ω
所有电阻并联，等效电阻为1Ω。
步骤4 应用米尔曼定理：
本例n=3三支路。
E = 10V
负载端电压10V。
步骤5 代入米尔曼等效电路。
步骤6 依欧姆定律：
IL = 1A
负载电压10V，负载电流1A。
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米尔曼定理分析交流电路
实例 #2
用米尔曼定理求负载端电流与电压。
步骤1 四支路并联，适用米尔曼定理。
步骤2 除负载外三支路。交流电路用阻抗代替电阻。电压源给极坐标形式，阻抗给矩形坐标，需统一转换。
V1 = 12∠60° = 6 + j10.392
V2 = 9∠0° = 9 + j0
V3 = 6∠30° = 5.196 + j3
阻抗矩形形式直接列出：
Z1 = 6Ω
Z2 = j6Ω
Z3 = -j6Ω
步骤3 求等效阻抗：短路电压源，剩余电路：
所有阻抗并联，等效阻抗：
Zeq = 6Ω
步骤4 应用米尔曼定理：
n=3三支路：
V = 6 + j10.392 - j9 + j5.196 - 3
V = 3 + j6.588
求有效值：
V = 7.23V
步骤5 代入米尔曼等效电路。
步骤6 依欧姆定律：
IL = 0.9A
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米尔曼定理局限性
- 不适用含受控源(依赖源)于独立源间的电路。
- 独立源少于两个时无用。
- 不适用仅含串联元件电路。
- 电源间有元件连接时不适用。
米尔曼定理应用
- 多并联支路多电压源网络中求负载阻抗电压电流最实用。
- 计算简便，无需列写过多方程。
- 适用含运放等复杂元件电路求解。
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