高数值孔径透镜聚焦圆偏振异常涡旋光束对纳米颗粒光学力的分析

摘要

从解析和理论上研究了高数值孔径（NA）物镜聚焦的圆偏振异常涡旋光束（CPAVB）特性。结果表明拓扑荷显著影响光束轮廓，通过调制NA和拓扑荷可获得平顶（FT）光束。有趣的是，紧聚焦后纵向分量中发生自旋-轨道角动量转换。进一步详细分析了紧聚焦CPAVB作用于纳米颗粒的光学力。预期可利用此类光束在焦点附近捕获两类纳米颗粒。

引言

具有螺旋相位因子exp(imθ)的涡旋光束过去二十年备受关注，其中m为拓扑荷（任意整数），θ为垂直光轴横截面上的方位角[1,2]。涡旋光束因其“甜甜圈”强度分布和轨道角动量（OAM）广泛应用于光学镊[3-7]、自由空间光通信[8]、量子信息[9]等。近年圆偏振涡旋光束因其独特性质受更多关注[10-15]，例如同时携带自旋角动量（SAM）和OAM。这些独特性质可显著拓展和增强涡旋光束应用。

高NA透镜系统下各类光束的紧聚焦特性是另一热点[16-20]，因其在颗粒捕获[21]、显微镜[22]、光存储[23]等重要应用。目前研究涵盖从标量涡旋光束到矢量涡旋光束[10,24-31]。例如Hao等[26]和Pu等[27]研究高NA透镜下螺旋偏振涡旋光束特性，显示可获平顶轮廓且焦平面OAM可通过适当偏振态调控。Zhan等研究圆偏振紧聚焦涡旋光束[10]，显示可产生强纵向分量。

异常涡旋光束（AVB）是一种新型光束，远场可演化为优雅的拉盖尔-高斯光束[32]，因其非凡传播特性引起广泛关注和研究[33-38]。据我们所知，尚无高NA透镜聚焦CPAVB的报道。本文推导CPAVB紧聚焦后的数学表达式，分析光束阶数、拓扑荷和NA值对光束轮廓和相位分布的影响，最后研究紧聚焦CPAVB的光学力。

方法

圆偏振光束可写为径向和方位偏振光束的线性叠加[10]：

$$ {\mathrm{E}}_{LHC(RHC)}=P(r){e}^{\pm i\varphi}\left({\mathrm{e}}_{\rho}\pm j{\mathrm{e}}_{\varphi}\right)/\sqrt{2} $$ (1)

其中P(r)为振幅分布。“+”和“-”分别代表左旋和右旋圆偏振。e_ρ和e_φ为圆柱坐标下径向和方位矢量。径向和方位偏振光束表达式见[39-41]。

聚焦系统方案同参考文献[42]。AVB在正弦条件（r=f sinθ）下的瞳孔像面函数可写为[32,38]：

$$ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n},\mathrm{m}}\left(\theta, \varphi \right)={E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{{w_0}^2}\right)\exp \left(- im\varphi \right) $$ (2)

其中f为焦距，θ从0变至α，α为NA最大角，E₀和w₀为常数和腰半径。n、φ、m分别为光束阶数、方位坐标和拓扑荷。

根据矢量德拜理论，紧聚焦CPAVB在圆柱坐标下的电场表达式可导出为式(3)：

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \rho}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^m\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3a)

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3b)

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, z}\left(\rho, \varphi, z\right)=- ikf{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times {\sin}^2\theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times {J}_{m\pm 1}\left( k\rho \sin \theta \right) d\theta \end{array}} $$ (3c)

其中J_n(α)为第一类n阶贝塞尔函数，k=2π/λ。定义E_+和E_-分别为右旋和左旋CPAVB的电场表达式。

上述方程使用了以下公式[43]：

$$ \left\{\begin{array}{l}{\int}_0^{2\pi}\cos \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\cos \left( n\phi \right)\\ {}{\int}_0^{2\pi}\sin \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\sin \left( n\phi \right)\end{array}\right. $$ (4)

紧聚焦CPAVB总强度计算为：

$$ I={\left|{E}_{\rho}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_{\varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_z\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2 $$ (5)

其中E_ρ、E_φ、E_z为对应分量振幅。

结果与讨论

CPAVB紧聚焦特性

本节利用上述方程研究紧聚焦CPAVB特性。模拟设NA=0.85，λ=632.8 nm，w₀=2 mm，f=2 mm。图1展示了n=1时不同拓扑荷下左旋CPAVB在焦平面的总强度分布及纵向、径向分量。发现m≤2时中心强度非零，m>2时中心存在暗斑。此外，m=0、2时聚焦场径向分量轴上不为零，m=1时与纵向分量相同。这可由式(3)和(5)解释：第一类贝塞尔函数J_m在原点处仅m=0时非零。所有三个分量中的贝塞尔函数在m>2时中心为零，故总强度为零。否则至少有一分量含J_0，意味着中心强度可非零且最大。此外，总强度和径向分量焦斑尺寸随拓扑荷增大而增大。因此，焦平面总强度和焦斑尺寸受拓扑荷影响。

图2展示m=1时不同光束阶数n下左旋CPAVB在焦平面的总强度及纵向、径向分量。可见随n增加，各分量和总强度外环逐渐变亮，但强度图案模式不变。因此光束阶数n不大幅影响强度图案形状。

接着研究NA值对n=2、m=1和m=4时CPAVB聚焦特性的影响。图3显示，m=1时中心强度保持非零，m=4时焦平面中心暗。比较图3 d-1与d-2，发现随NA增大强度增加并向中心聚集。特别地，m=1时NA增至0.8可获得FT光束。

基于式(3c)计算焦点附近纵向分量CPAVB相位分布，如图4所示。图4第一、二行为左旋和右旋CPAVB。图4 a-c位置分别为z=-0.005z_r、0、0.005z_r，其中z_r=kw₀²/2为瑞利距。其他参数设n=1，NA=0.85。图4显示相位图案轮廓穿过焦平面后从顺时针变为逆时针。比较图4 a-1至c-1与a-2至c-2，有趣的是左旋CPAVB m=4时焦点附近拓扑荷从3变为5。这可解释为：左旋CPAVB m=4携带SAM l_s=-ħ和OAM m=4ħ。因SAM转换为相反OAM的补偿，紧聚焦后拓扑荷降为3。类比地，右旋CPAVB m=4携带SAM l_s=ħ和OAM m=4ħ，因SAM转换为OAM，拓扑荷增至5。因此，紧聚焦后纵向分量中存在SAM向OAM的转换。

利用紧聚焦CPAVB捕获纳米颗粒

基于瑞利散射理论[44]，讨论光学捕获需考虑散射力和梯度力。散射力写作F_scat=e_z n_m α I_out/c，倾向破坏光学陷阱，其中c为光速，e_z为z方向单位矢量，I_out为聚焦光束强度，α=(8/3)π(ka)⁴a²[(η²-1)²/(η²+2)²]，a为纳米颗粒半径，η=n_p/n_m，n_m和n_p分别为周围介质和纳米颗粒折射率。梯度力F_grad倾向将纳米颗粒拉回焦点，表达为F_grad=2πn_m β ∇I_out/c，其中β=a³(η²-1)/(η²+2)。

模拟实验设n_p=1.59和n_p=1分别对应玻璃和气泡，n_m=1.332，NA=0.85，a=50 nm。图5展示左旋CPAVB紧聚焦后作用于n_p=1低折射率颗粒的径向、纵向梯度力和散射力（不同m和n）。前文显示m≥3时中心总强度为暗。因此，低折射率颗粒的径向和纵向梯度力始终将其拉回焦点（图5a-d）。与梯度力相比散射力极小，故低折射率颗粒可稳定捕获。

图6展示左旋CPAVB作用于n_p=1.59高折射率颗粒的径向、纵向梯度力和散射力（不同m和n）。可见焦点附近存在多个平衡点，散射力可忽略。因此高折射率纳米颗粒可在焦点附近捕获。

结论

本文讨论了紧聚焦CPAVB特性及其对纳米颗粒的光学力。发现CPAVB的SAM在紧聚焦时可转换为OAM。此外，紧聚焦CPAVB可用于在焦平面附近捕获低、高折射率两类纳米颗粒。研究有助于发掘CPAVB潜在应用。

数据与材料可用性

本研究生成和/或分析的数据集经合理请求可从通讯作者获取。

缩略语

AVB：

异常涡旋光束

CPAVB：

圆偏振异常涡旋光束

FT：

平顶

NA：

数值孔径

OAM：

轨道角动量

SAM：

自旋角动量