石墨烯超构表面实现涡旋波的双功能产生与调控

摘要

石墨烯作为一种原子级厚度的创新二维材料，在各类应用中备受瞩目。石墨烯超构表面可动态控制各种波前，实现卓越功能。其柔性使多功能器件设计变得容易。本文提出一种新型多功能石墨烯超构表面设计，可结合涡旋波产生与波束调控两大功能。该超构表面由大规模石墨烯反射单元阵列组成，每个单元可通过尺寸和外部静态栅极电压独立控制。通过深入分析石墨烯单元的反射特性，设计出可实现多功能的石墨烯超构表面。仿真结果表明可产生并调控涡旋波。该工作为设计多功能石墨烯超构表面建立了方法论，石墨烯的可调谐性为可重构石墨烯器件的设计制造打开了大门。

引言

石墨烯这一原子级厚度的创新二维材料，在生物学、光电子学、太赫兹通信等领域日益受到关注 [1]。在太赫兹波段，石墨烯因支持表面等离激元极化子（SPP）传播 [2]，性能优于传统贵金属，成为太赫兹技术的极佳候选材料。近年来，涌现出大量基于石墨烯的太赫兹和中红外器件，如调制器 [3-6]、探测器 [7]、吸收器 [8, 9] 和激光器 [10, 11]。

设计制造可重构超材料以控制电磁波行为至关重要 [12, 13]，因此在各频段实现了多种调谐机制 [14]，如电重构超材料 [15]、机械重构超材料 [16]、非线性材料 [17]、液晶 [18]、微流体 [19]、半导体结构 [20] 和石墨烯 [21]。石墨烯作为创新材料，因其电/磁控导电率，可实现微型化可控器件设计制造 [14, 22]，在可重构超构表面设计上潜力巨大，基于其可调谐性的应用已见诸 [23] 和 [24]。应用广义斯涅尔定律 [25, 26]，石墨烯超构表面可实现可调的反常反射 [27]，为可调谐太赫兹器件的设计制造铺平道路。

在电信领域，轨道角动量（OAM）因可提供无限状态而对增强信道容量至关重要 [28, 29]。三维超材料可用于产生 OAM 波 [30]。超构表面可视为二维超材料，能在亚波长厚度下实现卓越性能。微波段超构表面广泛用于设计制造亚波长器件以产生各种极化和增益特性的波 [31-34]。太赫兹段已有反射式石墨烯超构表面产生可调谐涡旋波的报道 [35]。石墨烯超构表面具备灵活控制波前的能力 [36]，因此可期望设计出结合涡旋波产生与反常反射功能的可行方案，以高精度调控涡旋波的指向性。

基于我们在微纳光学超构表面方面的前期研究 [37-41]，本文研究结合两个超构表面功能的机制。分析石墨烯单元，获得反射系数与其化学势及补丁尺寸的关系。校准完整 360° 反射相位范围作为参考，设计石墨烯超构表面结合涡旋波产生与反常反射功能。该组合超构表面由大规模反射式石墨烯单元阵列实现。仿真结果显示，涡旋波可被产生并以特定反射角度调控。

方法

石墨烯电导率包含带间和带内跃迁。带内跃迁主导太赫兹和红外波段，带间跃迁主导可见光波段。在太赫兹和红外区，电导率可用 Drude 模型 [24] 描述：

$$ \sigma(\omega)=\frac{2e^{2}}{\pi\hbar^{2}}k_{B}T\cdot\ln\left[2\cosh\left(\frac{E_{f}}{2k_{B}T}\right)\right]\frac{i}{\omega+i\tau^{-1}}, $$

其中 k_B 为玻尔兹曼常数，T 为温度，τ 为弛豫时间，E_f 为费米能量。

本工作器件工作在太赫兹波段，E_f≫k_BT，方程可简化为：

$$ \sigma(\omega)=\frac{e^{2}E_{f}}{\pi\hbar^{2}}\frac{i}{\omega+i\tau^{-1}}, $$

取室温 T=300K，石墨烯弛豫时间 τ=1 ps。费米能量 E_f 由外部静态栅极电压控制。仿真中，因石墨烯原子级厚度，不建模为三维超材料块，而是采用二维表面电导边界条件。

石墨烯超构表面由大规模石墨烯单元阵列组成，表面激发集体等离子体行为，实现非凡电磁特性。工作频率 1.3 THz，因等离子体模式的慢波传播，共振可发生在极小尺寸（λ/10 以下）[23, 42]。为设计石墨烯单元超构表面，提取单个石墨烯单元反射行为的校准图，研究各参数的详细影响。

典型石墨烯单元（图 1）由多层结构组成，顶部安装原子级厚度的石墨烯补丁。尺寸为 w_x×w_y 的石墨烯补丁居中安装在边长 p=14 µm 的层状方形衬底堆栈顶部。底部为金属接地层，上方覆盖 25 µm 厚的石英衬底（ε_r=3.75，tanδ=0.0184）。石墨烯补丁与 50 nm 厚的多晶硅层之间施加外部直流偏置电压，中间插入 10 nm 厚的 Al₂O₃（氧化铝，ε_r=8.9，tanδ=0.01）作为间隔层。化学势可通过 0 至 14.7 V 的外部直流偏置电压在 0.01 至 1.0 eV 范围调节 [23, 35]。文中未在仿真中建模多晶硅层和氧化铝间隔层，原因有二：首先，单独的二维仿真显示，因这两层厚度远小于石英衬底，对反射行为影响可忽略；其次，有限元仿真中处理尺寸差异巨大的相邻物体需要极大量网格单元，建模这两层的三维仿真计算量极大。

为研究 μ_c 和 w_x 对反射特性的影响，在 x 和 y 方向施加周期边界条件。波从顶部正入射，平行偏振（电场沿 x 方向）。因石墨烯等效为复数表面电导条件，仅 w_x 显著影响 x 方向电导，w_y 影响可忽略，所有仿真固定为 4 µm。

为详细考察补丁尺寸和化学势的影响，w_x 以 0.2 µm 步长从 0.2 扫描至 13.8 µm，μ_c 以 0.01 eV 步长从 0.01 扫描至 1.00 eV，频率固定 1.3 THz。S₁₁ 的相位和幅度绘制于图 2，称为校准图，可从中标定 w_x 和 μ_c 的值。为保证超构表面效率，反射系数幅度应大于 0.7，故将不合格区域挖空留白。校准图中获得完整 360° 相位覆盖，足以构建石墨烯超构表面。

相位图应足够平滑以精确控制相位。为实现 0° 至 360° 全相位覆盖，选取七组 w_x 和 μ_c 组合，如图 3 所示。

结果与讨论

为实现多功能，结合两个超构表面功能或向其中添加新功能非常有用，这将为设计新型超构表面提供通用方法。本文结合涡旋波产生与反常反射波束调控两大功能。

提出一种将两个超构表面 MS₁ 和 MS₂ 组合为单一多功能超构表面 MS_t 的通用方法。基于广义反射定律 [25] 开始。如图 4 所示，考虑自由空间波长 λ 的平面波以入射角 θ_i 入射，广义反射定律为：

$$ \sin\theta_{r}-\sin\theta_{i}=\frac{\lambda}{2\pi n_{i}}\frac{\,\mathrm{d}\phi}{\text{dx}}, \quad (1) $$

其中 θ_r 为反射角，n_i 为上空间折射率，ϕ(x) 描述界面上的相位不连续性。

考虑简化情况：波正入射，上空间为自由空间（n_i=1），如图 5 所示。对于前两个超构表面 MS₁ 和 MS₂，式 (1) 可进一步简化为：

$$ \frac{\,\mathrm{d} \phi_{m}}{\text{dx}}=\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta_{rm}(x)\quad\quad m=1,2. \quad (2) $$

为获得 MS_t 的 ϕ_t，沿界面选取一段 D_x，问题转化为：假设在 x∈D_x 内，有 −π/2<θ_r1(x)+θ_r2(x)<π/2，求 ϕ_t，使得对 ∀x∈D_x：

$$ \begin{aligned} \frac{\,\mathrm{d}\phi_{t}}{\text{dx}}&=\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta_{rt},\quad \text{and}\\ \theta_{rt}(x)&=\theta_{r1}(x)+\theta_{r2}(x). \end{aligned} \quad (3) $$

由式 (2) 和 (3) 可导出：

$$ \begin{aligned} \frac{\,\mathrm{d} \phi_{t}}{\text{dx}} &=\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta_{rt} = \frac{2\pi}{\lambda}\sin(\theta_{r1}+\theta_{r2})\\ &=\frac{2\pi}{\lambda}\left(\cos\theta_{r2}\sin\theta_{r1}+\cos\theta_{r1}\sin\theta_{r2}\right)\\ &=\cos\theta_{r2}\frac{\,\mathrm{d} \phi_{1}}{\text{dx}}+\cos\theta_{r1}\frac{\,\mathrm{d} \phi_{2}}{\text{dx}}\\ &=\frac{\,\mathrm{d}}{\text{dx}}\left(\cos\theta_{r2}\phi_{1}+\cos\theta_{r1}\phi_{2}\right)\\ &\quad -\left(\sin\theta_{r2}\frac{\,\mathrm{d} \theta_{r2}}{\text{dx}}\phi_{1}+\sin\theta_{r1}\frac{\,\mathrm{d} \theta_{r1}}{\text{dx}}\phi_{2}\right), \end{aligned} \quad (4) $$

进而得到：

$$ \begin{aligned} \phi_{t}(x)=&\cos\theta_{r2}\phi_{1}(x)+\cos\theta_{r1}\phi_{2}(x)\\ &-\int_{D_{x}}\left(\sin\theta_{r2}\frac{\,\mathrm{d} \theta_{r2}}{\text{dx}}\phi_{1}+\sin\theta_{r1}\frac{\,\mathrm{d} \theta_{r1}}{\text{dx}}\phi_{2}\right)\text{dx}, \end{aligned} \quad (5) $$

积分项计算 θ_ri(x) 变化率的贡献，多数情况下可数值计算。式 (5) 对结合两个超构表面功能起关键作用。

此外，若调控角度为常数，式 (6) 中积分项消失。式 (5) 大幅简化为：

$$ \phi_{t}(x)=\cos\theta_{r2}\phi_{1}(x)+\cos\theta_{r1}\phi_{2}(x)+C. \quad (6) $$

这是结合超构表面的控制方程，可计算相位分布以结合涡旋波产生与反常反射。

本文中，MS₁ 为产生涡旋波的超构表面，MS₂ 为调控波束的超构表面。

文献 [35] 指出，模式为 l 的涡旋波可由 N 个扇区组成的板产生，相位依次递增。第 n 个扇区相位 ϕ_n = ϕ₀ + 2πnl/N，其中 ϕ₀ 为初始扇区相位。为产生涡旋波，需满足 −N/2 < l < N/2。因此 N=4 足以产生 l=0, ±1 模式。

为产生 l=1 涡旋波，将板分为四个扇区（图 6a）。相位条件 ϕ₁(x,y) 为分段常数函数，逆时针穿过扇区每步减少 90°：

$$ \phi_{1}(x,y)=\left\{ \begin{aligned} &0^{\circ} &\quad & x\geq 0, y\geq 0\\ &-90^{\circ} &\quad & x<0, y\geq 0\\ &-180^{\circ} &\quad & x<0, y<0 \\ &-270^{\circ} &\quad & x\geq0, y<0 \end{aligned} \right. \quad (7) $$

当 x 偏振波从上方正入射时，将反射 l=1 的涡旋波。注意波垂直反射，故偏转角为 0°，即 θ_r1(x)=0°。

为产生偏转角 θ_r 的反常反射，应用式 (1)。如图 4 所示，波在自由空间正入射（θ_i=0°，n_i=1），式 (1) 化为：

$$ \phi_{2}(x)=\frac{2\pi\sin\theta_{r}}{\lambda}x+C. $$

本工作设定偏转角 θ_r=30°。由上式，已知单元周期 14 µm，相邻补丁相位差计算为 10.9°。相位分布如图 6b 所示。

结合 MS₁ 和 MS₂，将 θ_r1(x)=0° 和 θ_r2(x)=30° 代入式 (6)，得到 MS_t 的设计公式：

$$ \phi_{t}(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\phi_{1}(x)+\phi_{2}(x)+C. $$

由此计算相位分布，如图 6c 所示。根据图 3，选取各单元的化学势 μ_c 和补丁尺寸 w_x，构建 32×32 石墨烯超构表面。图 1a 显示超构表面上石墨烯单元的俯视布局。可见每个扇区为 16×16 子域，垂直包含 16 列。每列由 16 个相同石墨烯补丁组成，分配特定的 w_x 和 μ_c 组合。

板由顶部入射的 x 偏振波激励，入射波电场归一化（\vec {E}_{\text {inc}}=\vec {x}）。仿真使用商业有限元求解器 COMSOL Multiphysics 5.2。石墨烯原子级厚度，但衬底厚度为微米量级，若对石墨烯补丁应用三维网格，计算量巨大。因此忽略石墨烯补丁厚度，在 COMSOL 中应用等效二维表面电导条件作为过渡边界条件。板上有 32×32 个补丁，分为四个扇区。每扇区有 16×16 个补丁，通过尺寸和化学势独立控制。仿真耗费 710 万自由度，在 40×2.1 GHz 线程、256 GB 内存的服务器上运行。

图 7b 显示反射波电场幅度（归一化入射波）。石墨烯超构表面产生 l=1 的涡旋波并向 x 轴偏转 30°。

结论

综上，我们研究了多功能石墨烯超构表面的设计原则。提出了结合两个超构表面的方法。以石墨烯超构表面结合涡旋波产生与波束调控功能为例。石墨烯作为二维原子级材料，可通过外部栅极电压动态调控相位条件。深入分析其参数，校准单个石墨烯单元反射行为，获得 360° 相移覆盖。设计由 32×32 单元组成的石墨烯超构表面，同时实现反常反射与太赫兹涡旋波产生。仿真结果显示产生 l=1 涡旋波并实现调控。石墨烯在太赫兹波段展现支持 SPP、高效率、可调谐等非凡特性，是太赫兹技术的有力候选材料。本研究探讨了利用石墨烯实现不同超构表面功能组合的方法，为太赫兹波段动态可控多功能超构表面打开了大门。