耦合马约拉纳束缚态的相关量子点热电响应研究

摘要

本文理论研究了由拓扑半导体纳米线宿主马约拉纳束缚态（MBS）与量子点（QD）组成的混合器件中的热电效应，量子点连接左右两个处于不同温度的非磁性电极。采用非平衡格林函数技术考虑量子点中的电子-电子库仑相互作用。研究发现，通过改变QD-MBS杂化强度、纳米线两端MBS间的直接重叠以及系统温度，热功率（塞贝克系数）会发生符号反转，这对检测MBS具有重要意义。即使量子点无塞曼劈裂或电极非磁性，由于马约拉纳费米子的手征性导致MBS仅与量子点中某种自旋方向的电子耦合，可产生高达100%自旋极化或纯自旋热功率。此外，MBS的存在显著增强热功率幅值。

引言

零能马约拉纳束缚态（MBS）的制备与检测是现代凝聚态物理的重要课题。MBS是马约拉纳费米子在固态中的对应物，关联非阿贝尔统计，可实现拓扑保护的量子信息处理，有望应用于抗退相干量子计算。此外，MBS在高效电子器件设计中也极具潜力，如自旋电子学。良好分离的MBS可在多种体系制备，主要方案包括：非中心对称超导体、耦合超导体的三维或二维拓扑绝缘体、拓扑超导体中的静电缺陷、p波超导体、具有天然强自旋-轨道相互作用的半导体或铁磁纳米线邻近效应耦合常规s波超导体、约瑟夫森结等。

MBS检测极具挑战性，因马约拉纳费米子因固有粒子-空穴对称性而呈电荷中性。已开展多种实验验证MBS存在，如拓扑超导体结中4π周期约瑟夫森电流相位、拓扑超导体与拓扑量子反常霍尔绝缘体混合结构中半整数电导平台、拉什巴纳米线耦合体s波超导体的隧穿谱学、纳米线边缘零偏差分电导等。但这些现象除MBS外可能有其他物理起源，故提出替代方案。其中之一是将MBS与其他纳米结构杂化，如零维量子点（QD），其能级、电子-电子库仑相互作用、粒子数、与外界耦合强度均可精准控制。低温下，当QD能级与电极费米能级对齐时，理论预测半最大电导是MBS对形成的明确证据，此结果不随QD能级调节而改变，并在InAs-Al纳米线耦合QD实验中获证实。近期，基于QD结构的光学方案也被理论提出，利用光学泵浦-探测技术检测MBS。环形或T型QD系统中量子干涉现象受MBS显著影响，可借助法诺效应等用于检测。

近期也有研究关注通过热电效应检测MBS，聚焦电能与热能转换。因中观器件和纳米结构生长制造快速进展，热电性能显著提升，这一老课题重获关注。基于GaAs/AlGaAs界面二维电子气定义的QD高效热能收集器已被报道。热电效应增强归因于边界散射大幅降低热导率及低维系统独特的电输运性质优化。热功率（塞贝克系数）是热电效应核心物理量，表征温度梯度下开路电压强度。Hou等理论预测QD与宿主马约拉纳边缘态超导体间的热功率满足莫特公式且普遍不为零。基于此可通过测量差分电导和热功率推断马约拉纳边缘态温度。Leijnse理论证明可调能级QD与MBS耦合破坏粒子-空穴对称性，热功率变化提供证明马约拉纳态存在的新途径，亦可用于探测超导体温度和提取MBS耗散衰减信息。在QD耦合两电极结构中，López等发现改变MBS间直接杂化会导致热功率符号反转，是MBS存在的有力证据。热功率符号反转后在双电极或三电极QD系统中也被发现。此外，散射噪声与热电量关系可提供纯电学方式探测电荷中性MBS。

本文提出由MBS与耦合电极QD组成的混合系统（见图1）研究热功率性质。考虑了前人工作忽略的QD强库仑相互作用。且因MBS手征性，仅QD一种自旋分量与MBS耦合。研究发现：通过调节QD-MBS杂化强度、MBS间直接杂化、系统温度，可有效反转热功率符号。产生的大值100%自旋极化和纯自旋热功率（对应闭合电路中100%自旋极化和纯自旋电流）对自旋电子学有用。两个MBS均与QD耦合将进一步增强热功率幅值，但不改变单MBS耦合时的本质结果。基于目前通过拓扑超导纳米线耦合QD测量MBS量子输运的先进技术，我们的方案未来可实验验证。此外，本工作发现可为通过QD检测MBS形成提供优秀途径。

模型与方法

QD耦合MBS及左右正常金属电极的有效哈密顿量形式为[34, 35]：

$$ H = \sum_{k\beta\sigma}\varepsilon_{k\beta}c_{k\beta\sigma}^{\dag}c_{k\beta\sigma} +\sum_{\sigma}\varepsilon_{d}d_{\sigma}^{\dag}d_{\sigma}+Ud_{\uparrow}^{\dag} d_{\uparrow} d_{\downarrow}^{\dag} d_{\downarrow} +\sum_{k\beta\sigma}(V_{k\beta}c_{k\beta\sigma}^{\dag}d_{\sigma}+H.c)+H_{\text{MBSs}} $$ (1)

其中 \(c_{k\beta \sigma }^{\dag } (c_{k\beta \sigma })\) 创建（湮灭）动量k、能量ε_{kβ}（忽略正常金属电极自旋依赖）、自旋σ=↑,↓的电子，电极β=L,R。QD中 \(d_{\sigma }^{\dag } (d_{\sigma })\) 为栅压可调能级ε_d、自旋σ、点内库仑相互作用U的电子产生（湮灭）算符。QD与电极耦合强度用V_{kβ}描述。方程(1)最后一项H_MBSs代表位于半导体纳米线两端的零能MBS及其与QD的耦合[18]：

$$ H_{\text{MBSs}}=i\delta_{M}\eta_{1}\eta_{2}+\lambda_{1}(d_{\uparrow}-d_{\uparrow}^{\dag})\eta_{1}+i\lambda_{2}(d_{\uparrow}+d_{\uparrow}^{\dag})\eta_{2} $$ (2)

其中δ_M为两MBS间重叠振幅，算符满足η_j=η_j^† (j=1,2) 和 {η_i,η_j}=δ_{i,j}。λ_j为MBS与QD中自旋向上电子间跳跃振幅。将η_j写为普通费米子算符f：η₁=(f^†+f)/√2, η₂=i(f^†-f)/√2，则H_MBSs重写为：

$$ H_{\text{MBSs}}=\delta_{M}\left(f^{\dag} f-\frac{1}{2}\right)+\frac{\lambda_{1}}{\sqrt{2}}\left(d_{\uparrow}-d_{\uparrow}^{\dag}\right)\left(f^{\dag} +f\right) -\frac{\lambda_{2}}{\sqrt{2}}(d_{\uparrow}+d_{\uparrow}^{\dag})\left(f^{\dag}-f\right) $$ (3)

考虑线性响应区，即左右电极间无限小偏压ΔV和温差ΔT下，各自旋分量电流和热流为：

$$ I_{e,\sigma}=-e^{2}L_{0,\sigma}\Delta V+\frac{e}{T}L_{1,\sigma}\Delta T $$ (4) $$ I_{h,\sigma}=eI_{1,\sigma}\Delta V-\frac{1}{T}L_{2,\sigma}\Delta T $$ (5)

其中e为电子电荷，T为系统平衡温度，

$$ L_{n,\sigma}=\frac{1}{\hbar}\int (\varepsilon-\mu)^{n}\left[-\frac{\partial f(\varepsilon,\mu)}{\partial \varepsilon}\right]T_{\sigma}(\varepsilon)\frac{d\varepsilon}{2\pi} $$ (6)

ℏ为约化普朗克常数。设电极化学势μ=0为能量零点。费米分布函数f(ε,μ)=1/{1+exp[(ε−μ)/k_BT]}，k_B为玻尔兹曼常数。透射系数T_σ(ε)通过迟滞格林函数计算：

$$ T_{\sigma}(\varepsilon)=\frac{\Gamma_{L}\Gamma_{R}}{\Gamma_{L}+\Gamma_{R}} [-2\text{Im}G_{\sigma}^{r}(\varepsilon)] $$ (7)

其中Γ_{L(R)}=2π∑_k|V_{kL(R)}|²δ[ε-ε_{kL(R)}]为线宽函数。采用标准运动方程技术获取格林函数，按文献[39]方案2截断高阶格林函数（忽略相反自旋电子同时隧穿）。经计算得自旋向上迟滞格林函数：

$$ G_{\uparrow}^{r}(\varepsilon)=\frac{\varepsilon_{-}-\Sigma^{M}_{1}-U\left\{1-< n_{\downarrow}>\left[1-(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2})^{2}\tilde{B}\tilde{B}_{U}\right]\right\}}{\left(\varepsilon_{-}-\Sigma^{M}_{0}\right)\left(\varepsilon_{-}-U-\Sigma^{M}_{1}\right)} $$ (8)

MBS诱导自能：

$$ \Sigma^{M}_{0}=B_{1}+\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}\right)^{2}B\tilde{B} $$ (9) $$ \Sigma^{M}_{1}=B_{1}+\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}\right)^{2}B\tilde{B}_{U} $$ (10)

其中

$$ B=\frac{\varepsilon}{\varepsilon^{2}-\delta_{M}^{2}} $$ (11) $$ B_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon-\delta_{M}}+\frac{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon+\delta_{M}}\right) $$ (12) $$ \tilde{B}=\frac{B}{\varepsilon_{+}+B_{2}} $$ (13) $$ \tilde{B}_{U}=\frac{B}{\varepsilon_{+}+U-B_{2}} $$ (14) $$ B_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon+\delta_{M}}+\frac{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon-\delta_{M}}\right) $$ (15)

ε_±=ε±ε_d+i(Γ_L+Γ_R)/2。无QD-MBS杂化（λ₁=λ₂=0）时Σ^M_{0,1}=0，G_↑^r(ε)恢复文献[39]结果。自旋向下迟滞格林函数同理，将n_↓换为n_↑。占据数自洽计算：

$$ n_{\sigma}=\int \frac{d\varepsilon}{2\pi}\frac{\Gamma_{L}f_{L}(\varepsilon)+\Gamma_{R}f_{R}(\varepsilon)}{\Gamma_{L}+\Gamma_{R}}[-2\text{Im}G_{\sigma}^{r}(\varepsilon)] $$ (16)

获取透射函数后，各自旋分量电导和热功率（塞贝克系数）分别为G_σ=e²L_{0,σ}和S_σ=−L_{1,σ}/(eTL_{0,σ})。

结果与讨论

假设QD与电极对称耦合，设Γ=2Γ_L=2Γ_R=1为能量单位。点内库仑相互作用固定为U=10Γ。首先研究QD仅耦合MBS-1且不同杂化强度λ₁情况（设λ₂=0），见图2。λ₁=0时，各自旋分量电导在ε_d=−μ和−μ−U处呈双峰（图2a）。此时QD无MBS诱导自旋极化，两自旋分量电导相等（G_↑=G_↓）。开启MBS-QD杂化（λ₁≠0），G_↑幅值单调抑制（图2a），符合前人结果[18, 34, 35]。G_↓虽因库仑相互作用导致占据数n_↓变化但几乎不变（图未示）。λ₁值因QD-马约拉纳耦合引起能级重整化，略微修正G_↑峰位和宽度[18, 34, 35]。总电导G=G_↑+G_↓构型（图2c）类似G_↑。

图2b中热功率S_↑呈典型锯齿形，在ε_d=μ、−U/2、μ−U三处过零[41, 42]。在两个共振态（ε_d=μ、μ−U）附近各形成一对符号相反的尖峰，每过一个零点符号翻转一次。无QD-MBS杂化（λ₁=0，黑色实线）时，ε_d在零点下方（上方）时S_↑为正（负），主载流子为电子（空穴）。随λ₁增加，S_↓不变，|S_↑|先抑制后增强。充分大λ₁时S_↑符号反转（图2b）。进一步增大λ₁使|S_↑|超越|S_↓|，总热功率S=S_↑+S_↓亦反转符号。此现象在无自旋模型中也被发现[35–37]。实际上，无MBS的QD器件热功率符号反转归因于系统平衡温度[29]、电极磁矩[43]、库仑相互作用[43,44]、QD间耦合强度、外加磁场、量子干涉效应或多量子点穿透磁通[45,46]等机制，与本文情况截然不同。通过改变QD-MBS杂化强度实现热功率符号反转有助于检测MBS[35–37]。

图3a,b展示总电导G和热功率S随QD能级ε_d随温度T变化。G峰值随温度升高先增强后抑制（图3a）。S幅值（图3b）主要随温度升高增强，因化学势上下激发电子（空穴）增多。T=0.1和0.2时S发生符号反转（图3b粉红、绿线），类似无MBS的QD热电效应。T=0.2Γ时S峰值达2k_B/e，比T=0.001大一个数量级。热功率幅值可随温度进一步增强，但本文聚焦MBS实验形成典型低温下的符号反转。图3c,d展示固定T=0.025Γ下不同MBS直接杂化δ_M下的电导和热功率。G峰值随δ_M单调增强（图3c），与López等结果一致[35]。S在0.03Γ<δ_M<0.05Γ时符号反转（图3d），大于温度T=0.025Γ。文献[32]无自旋模型中符号反转发生在δ_M≈k_BT处，本文因MBS仅耦合单自旋方向电子，符号反转发生在较大δ_M处。增加δ_M亦可增强热功率峰值。

图4展示自旋分辨热功率随λ₁和δ_M变化。S_↑（图4a）随λ₁先增至最大后减，充分大λ₁时趋稳定值。S_↓不随λ₁变化。此行为产生两有趣结果：当S_↑=0而S_↓有限值时出现100%自旋极化热功率，可用于电子自旋滤波；当S_↑=−S_↓时出现有限纯自旋热功率S_s=S_↑−S_↓且零电荷热功率S_c=S_↑+S_↓=0（图4b圆点标示）。闭合电路中，100%自旋极化和纯自旋热功率分别对应相应电流，在自旋电子器件中具虚拟意义。图4c,d中随δ_M变化S_↑发生符号反转而S_↓不变，结果类似。强调本文100%自旋极化和纯自旋热功率在无磁场或QD磁性材料条件下出现。

图5研究纳米线两端MBS均与QD耦合情况（导线与QD足够接近，δ_M=0）。图5a显示总电导G在λ₂存在下保持双峰构型，峰高随λ₂增加被抑制。S线形（图5b）不随λ₂值改变。因热功率与电导成反比，S峰值显著增强。λ₂∼0.2Γ时热功率幅值达2k_B/e。且调节λ₂值不改变S符号。图6展示固定λ₁=λ₂=0.2Γ下总热功率随ε_d随δ_M变化等高线图。显示调节δ_M可有效改变热功率幅值和符号，类似单MBS耦合QD情况。最后简要讨论器件实验实现：宿主MBS纳米线可用分子束外延生长InAs并外延数纳米Al层[47]，实验证实施加超2T临界磁场可在该类纳米线诱导硬超导能隙[47,48]。QD因Al壳边缘态密度梯度在纳米线末端裸露InAs段形成[20,47,48]。

结论

本文研究了连接左右正常金属电极且含库仑相互作用的量子点电导和热功率性质，QD同时耦合半导体纳米线中形成的MBS。发现MBS仅影响其耦合的自旋分量电导和热功率，尽管自旋向上和向下电子通过库仑排斥相互作用。通过调节QD-MBS杂化强度、MBS间直接杂化、系统温度，可改变热功率符号。非磁性QD结构中可获得大值100%自旋极化或纯自旋热功率。QD同时耦合两个MBS仅改变热功率幅值，不改变符号。研究结果可为通过热电技术检测MBS存在提供参考。