光子分子光力学中的可控光学双稳态和四波混合

背景

光机械系统 (OMS) [1] 由耦合到机械谐振器的光腔组成并探索辐射压力引起的相干光子-声子相互作用，最近引起了很多关注，因为它们提供了一个操纵机械谐振器和电磁场的平台，并为光机械设备潜在应用的方式，例如声子激光 [2, 3]、传感 [4]、声子挤压 [5]、挤压光的实现 [6-8]、基态冷却 [9-11]，和光机械诱导透明度 (OMIT) [12-15] 诱导的固态设备中的存储光 [16, 17]。尽管大多数注意力都集中在单个 OMS 上，但通过集成更多的光学或机械模式来实现复合 OMS，例如通过辐射压力将一种机械模式耦合到两种光学模式 [18, 19] 和两个机械谐振器之间的声子相互作用 [20] , 21] 成为进一步研究 OMS 及其在量子信息处理中的潜在应用的趋势。基于混合化合物 OMS，量子态的转移 [22]、类 OMIT 声子冷却 [23]、光机械暗模式 [24] 和声子介导的电磁感应吸收 [25] 已得到广泛研究。在众多复合 OMS 中，作为通用 OMS 的自然延伸，两个直接耦合的回音壁模式 (WGM) 微腔称为光子分子 [26, 27]，在一个 WGM 微腔中具有光机械效应，引起了很多关注。复合光子-分子光机械系统中有两种相互作用：第一种是由辐射压力引起的光机械相互作用，另一种是通过可调光子隧穿的腔-腔耦合。这两种相互作用共同产生了几个有趣的现象，包括声子激光[2, 3]、混沌[28]、基态冷却[23]和光传输的相干控制[25,29,30]。

另一方面，OMS 也提供了一个研究光-物质相互作用非线性效应的平台。在 OMS 的所有非线性现象中，光学双稳态和四波混频 (FWM) 是典型的非线性光学现象，受到研究人员的关注。近年来，平均腔内光子数的双稳态行为已在各种 OMS 中得到广泛研究，例如玻色-爱因斯坦凝聚腔光机械系统 [31, 32]、具有量子阱的 OMS [33]、超冷原子 [34, 35] 和其他混合 OMS [36, 37]。此外，FWM 可以描述为由频率 ω 的强泵浦激光器驱动的腔 p 和弱探测激光频率ω s ，然后，两个泵浦光子将通过机械模式与探测光子混合，以产生频率为 2ω 的空闲光子 p -ω s 在OMS中，并且在以前的工作中也进行了研究，例如强耦合光机系统中的模式分裂[38]，相干机械驱动OMS [39, 40]和双模腔光机系统[41]。然而，在复合光子分子OMS中很少研究光学双稳态和FWM，其中耦合强度由J表示 两个腔体对这些非线性光学现象的影响起着关键作用。

在目前的工作中，我们考虑了一种复合光子-分子腔光机械系统，由两个 WGM 微腔组成，其中一个 WGM 腔是具有高腔耗散 κ 的光机械腔 ，另一个 WGM 腔是一个辅助普通光学腔，具有高品质因子 (Q) [42]。正如刘等人。 [43] 证明，对于相同类型的谐振器，同时实现高 Q 因子和小模式体积 (V) 仍然很困难。在光子分子光力学中，通过耦合原来的光机械腔c 具有高腔耗散 κ （没有高 Q）到一个辅助腔模式 a 高Q大V，可以免去同一个腔体高Q小V的要求。我们引入一个比率参数δ =κ c /κ 一 , 其中 κ c =ω c /问 c 和 κ 一 =ω 一 /问 一 是腔模的衰减率c 和 a (ω c 和 ω 一 是腔 c 的频率 和 a ) 研究光子分子光力学中的非线性效应。这里，光机腔 c 由泵浦激光器驱动，而辅助腔a 由探针激光器驱动。腔 c 耦合到腔 a 通过渐逝场，耦合强度J 可以通过改变两个 WGM 腔之间的间隔来控制两个腔之间的距离 [26]。我们通过改变耦合强度来研究基于复合光子分子 OMS 的光学双稳态和 FWM J 腔谐振器之间，并通过操纵耦合强度可以实现可调和可控的光学双稳态和 FWM J 两个腔体之间。进一步，通过调整参数δ 和泵功率 P , 可以控制 FWM 过程。

模型与理论

光子分子光力学如图 1 所示。第一个腔支持光学模式 c 频率 ω c 由频率ω的泵浦激光器驱动 p 和振幅 \(\varepsilon _{p}=\sqrt {P/\hbar \omega _{p}}\)。辐射压力引起机械模式b 与机械谐振器频率 ω 米 , 单光子光机耦合率为 g =g 0x 0 (g 0=ω c /R 和 R 是腔的半径 c )，机械振荡器位置的零点波动为 \(x_{0}=\sqrt {\hbar /2M\omega _{m}} \) [13]。那么，光力学哈密顿量c 是 [13]

包含两个 WGM 腔的复合光子-分子腔光机械系统示意图。第一个具有高腔耗散 κ 的 WGM 腔 是光机腔c 由泵浦激光器驱动，辐射压力诱发机械模b 耦合到腔 c 耦合强度g .第二个 WGM 腔 a 是由具有高质量因子 (Q) 的探针激光器驱动的辅助腔。光机腔c 耦合到腔 a 通过渐逝场，我们引入了一个参数 J 描述两个腔的耦合强度，可以通过改变它们之间的间隔来控制[26]

其中Δ c =ω c -ω p 是泵场和腔的失谐 c . c 和 c ^† 表示腔模c的玻色子湮灭和创造算子 , 和 b ^† (b ) 是机械模态的创造（湮灭）算子。辅助腔仅支持光模a 由频率ω的探针激光器驱动 s , 其幅度 ε s 是 \(\varepsilon _{s}=\sqrt { P_{s}/\hbar \omega _{s}}\)。我们引入了湮灭和创造操作符a 和 a ^† 描述空腔 a ，其哈密顿量为 [13]

其中Δ 一 =ω 一 -ω p 是泵场和腔的失谐 a , 和 Ω =ω s -ω p 是泵探头失谐。我们使用两根锥形光纤来激发腔模a 和腔模式c 作为耦合率κ的光波导 ae 和 κ ce .光机腔c 耦合到腔 a 通过渐逝场，腔-腔耦合率J 可以通过改变它们之间的距离来有效地调整 [26]。当耦合强度J 在两个腔之间很弱，那么来自腔 c 的能量 不能轻易转移到型腔 a .反之，如果耦合强度J 随着两个腔之间距离的减小而增加，那么能量可以很容易地从两个腔中流出。两个腔之间的线性耦合相互作用由[26] \(\hbar J\left (a^{\dag }c+ac^{\dag }\right)\) 描述。那么，泵浦频率ω的旋转波系中的总哈密顿量 c 可以写成 [3, 13, 23]

两腔模态衰减率κ =κ c =κ 一 =κ 前 +κ 0 与固有光子损失率 κ 0 和 κ 前 描述了能量离开光腔进入传播场的速率 [13]。这里，为简单起见，我们只考虑 κ 的条件 前 =κ 0=κ ae =κ ce ，我们考虑 ω c =ω 一 .

我们使用海森堡运动方程 \(i\hbar \partial _{t}O=[O,H]\) (O =a ,c ,X ) 并引入相应的阻尼和噪声算子，得到量子朗之万方程如下[44]：

其中 X =b ^† +b 是位置运算符和 γ 米 是谐振器的衰减率。 一 在和c 在描述朗之万噪声时遵循以下关系 [45]

谐振器模式受随机力过程的影响具有以下相关函数[46]

其中 k B 是玻尔兹曼常数和 T 表示水库温度。

当光机腔c 由强泵浦激光器驱动，海森堡算子可分为两部分，即稳态平均值O 0，波动小δ 哦 均值为零<δ 哦 〉=0。稳态值决定了腔内光子数 (n 一 =|a s | ² 和 n c =|c s | ² ) 由

其中 \(\Delta ^{^{\prime }}=\Delta _{c}-2g^{2}n_{c}/\omega _{m}\)。这种形式的耦合方程是光学双稳态的特征。在下一节中，我们将讨论泵功率 P 等参数 ，腔-腔耦合强度J , 和比率参数 δ 影响光学双稳态。仅保留波动算子的线性项并使 ansatz [47] 〈δ 一 〉=a +e ^{-i Ω t} +a -e ^{i Ω t} , <δ c 〉=c +e ^{-i Ω t} +c -e ^{i Ω t} , <δ X 〉=X +e ^{-i Ω t} +X -e ^{i Ω t} ，然后我们得到

其中 \(\Lambda _{1}=igc_{s}^{2}\eta ^{\ast }J^{2}\varepsilon _{s}\sqrt { \kappa _{ae}}\), Λ 2=(i Δ 一 2+κ 一 )(i Δ 2+κ c )[(i Δ 1-κ c )(i Δ 一 1-κ 一 )-J ² ], \(\Lambda _{3}=-g^{2}\eta ^{\ast 2}n_{c}^{2}(i\Delta _{a1}-\kappa _{a})( i\Delta _{a2}+\kappa _{a})\), Δ 一 1=Δ 一 -Ω , Δ 一 2=Δ 一 +Ω , \(\Delta _{1}=\Delta ^{^{\prime }}-\Omega +g\eta n_{c}\), \(\Delta _{2}=\Delta ^{^{\素数 }}+\Omega +g\eta ^{\ast }n_{c}\) 和 \(\eta =2g\omega _{m}/(\omega _{m}^{2}-i\伽玛 _{m}\Omega -\Omega ^{2})\)。使用标准的输入输出关系 [45] \(a_{\text {out}}(t)=a_{\text {in}}(t)-\sqrt {2\kappa _{a}}a(t )\)，其中 a 出（t ) 为输出域算子，得到输出域的期望值：

其中 a 出（t ) 是输出字段运算符。等式（13）表明输出域由三项组成。第一项对应于幅值为ε的驱动场处的输出场 p 和频率ω p .第二项对应于频率ω的探测场 s 与导致 OMIT 的反斯托克斯场有关，这已在各种光机械系统中进行了研究 [12-15, 48]。最后一个对应于频率为 2 ω 的输出场 p -ω s 与显示 FWM 的斯托克场相关。在 FWM 过程中，驱动场的两个光子与探测场的单个光子相互作用，每个光子的频率为 ω p 和 ω s 产生一个频率为 2 ω 的新光子 p -ω s .根据探测场的 FWM 强度可以定义为 [49]

这是由光机械耦合强度决定的g ，泵浦功率P ，腔-腔耦合强度J , 衰减率比δ 两个腔体。

数值结果和讨论

在本节中，我们首先研究稳态光子数 n 的双稳态行为 c 和 n 一 根据方程的两个腔。 (10) 和 (11)。由于给出双稳态条件的解析表达式过于繁琐，这里我们将给出数值结果。我们选择类似于参考文献中的参数。 [13, 26] :c 型腔的参数 如[13]：g 0=12 GHz/纳米，γ 米 =41 kHz，ω 米 =51.8 MHz，κ c =5 兆赫，米 =20 纳克，λ =750 纳米，和 Q =1500，泵浦功率的数量级为毫瓦（1 mW =10 ⁻³ W)。对于型腔 a , 我们考虑 ω 一 =ω c 和 κ c =κ 一 .耦合强度J 两种腔模式之间的差异起着关键作用，可以影响双稳态行为和 FWM。实验表明耦合强度J 取决于腔之间的距离 c 和腔 a [26]（耦合强度也随着两个腔的距离的增加呈指数下降）。这里，我们期望耦合强度 \( J\sim \sqrt {\kappa _{c}\kappa _{a}}\).

等式(10)和(11)给出光机械腔c的腔内光子数 和普通腔 a 是耦合三次方程，表现出双稳态行为。我们首先考虑J的条件 =0，即只有一个光机腔c ，图 2a 绘制了平均腔内光子数 n c 光机腔c 作为腔泵失谐 Δ 的函数 c =ω c -ω p 具有三个泵功率。当泵浦功率小于P时 =0.4 mW（例如 P =0.1 mW)，曲线接近洛伦兹。随着功率P的增加 到一个临界值，光机械腔 c 表现出双稳态行为，如 P 的曲线所示 =0.4 mW 至 P =0.8 mW，其中最初的洛伦兹共振曲线变得不对称。平均腔内光子数n c 有三个实根（式（10）），最大和最小的根是稳定的，中间的是不稳定的，在图 2a 中用椭圆表示。然而，当我们考虑光腔 a ，即 J ≠0 如J =1.0 κ 一 ，双稳态行为在某些方面被破坏，如图 2b 所示。那是因为当光机腔c 耦合到光腔a , 部分腔内光子数 n c 光机腔c 将耦合到光腔 a ，因此，腔内光子数 n c 将减少，然后导致破坏双稳态行为。图 2c 显示了平均腔内光子数 n c 光机腔c 作为腔-腔耦合强度的函数 J 具有三个泵功率。显然，平均腔内光子数n c 取决于泵功率 P , 和腔内光子数 n c 总是随着耦合强度的增加而减小J 因为部分光子数耦合到光腔 a .此外，随着泵浦功率的增加，较大的腔泵失谐有利于观察光学双稳态行为P .图 2d 绘制了平均腔内光子数 n c 与泵浦功率 P 带腔 a 在红边带 (Δ 一 =ω 米 ) 和蓝色边带 (Δ 一 =−ω 米 )，双稳态呈现滞后回线行为 [50]。然而，我们的结果与之前没有考虑腔-腔耦合的双模光机械系统的工作不同J .因此，耦合强度J 在双稳态中起重要作用。

一 光机腔平均腔内光子数c 作为腔泵失谐 Δ 的函数 c 具有 J 的三个泵浦功率 =0。 b 光机腔平均腔内光子数c 作为腔泵失谐 Δ 的函数 c 在 J 下具有几种不同的泵浦功率 =1.0 κ 一 . c 平均腔内光子数 n c 光机腔c 作为 J 的函数 具有三个泵功率。 d 平均腔内光子数 n c 作为 P 的函数 对于 Δ c =Δ 一 =ω 米

我们进一步研究了光腔a的双稳态行为 与方程。 (11)。图 3a 给出了腔内光子数 n 一 普通腔 a 作为腔泵失谐 Δ 的函数 一 =ω 一 -ω p 带泵功率 P =0.1 毫瓦，P =1.0 毫瓦，P 在 J 时 =10 mW =1.0 κ 一 .显然，光腔a 由于腔内光子数 n，不能表现为双稳态行为 一 腔 a 从腔 c 不能在低泵功率下保持双稳态。实际上，只有高泵功率P 可以空腔 a 呈现双稳态行为，因为只有高泵功率驱动光机械腔 c ，更多的光子数可以耦合到光腔a .我们还绘制了平均腔内光子数 n 一 光腔a 作为耦合强度的函数 J 在三个泵浦功率下，如图 3b 所示。很明显，当 J =0, n 一 =0，因为在 J 处两个腔之间没有耦合 =0，在这种情况下，没有光子耦合到光腔a .随着耦合强度的增加J （减小两个腔的距离[26]），腔内光子数n 一 普通光腔a 增加但并非总是如此。有一个最佳耦合强度J 对于 n 的最大值 一 在不同的泵浦功率下，然后，n 一 会随着 J 的增加而减少 .耦合强度J 两腔之间可以调节[26]。

一 普通腔a的平均腔内光子数 作为腔泵失谐 Δ 的函数 一 具有 J 的三个泵浦功率 =1.0 κ 一 . b 平均腔内光子数 n 一 作为 J 的函数 具有三个泵功率。 c 平均腔内光子数 n c 作为 Δ 的函数 c 具有三个比率参数δ . d 平均腔内光子数 n c 作为 δ 的函数 两个 J

此外，我们考虑一个比率参数δ =κ c /κ 一 (κ c =ω c /问 c 和 κ 一 =ω 一 /问 一 ) 研究影响双稳态行为的两个腔的参数。 κ 是腔模的衰减率，与腔的频率和品质因数有关。众所周知，由于衍射极限，腔模很难同时实现高 Q 值和小 V 值。对于光学腔，较小的 V 对应于较大的辐射衰减率导致较低的 Q。尽管不同类型的腔具有其独特的特性，但高 Q 和小 V 之间的权衡仍然存在。但是，当通过耦合原来的OMS c 具有高腔耗散到辅助腔模式 a 高 Q 但大 V，双稳态行为将显着改变。图 3c 显示了平均腔内光子数 n c 光机腔c 作为 Δ 的函数 一 在几个不同的δ =κ c /κ 一 耦合强度不变J =1.0 κ 一 .我们可以发现可以出现双稳态行为，但是腔内光子数n c 在 δ 处很小 =0.1 与 J =2 κ 一 , 即 κ c =0.1 κ 一 这意味着 Q c>问 一 .当增加比率δ 来自 δ =1.0 到 δ =2.0，腔内光子数n c 经历了从双稳态行为到接近洛伦兹线轮廓的变化。也就是说当Q c <问 一 ，双稳态行为将被破坏，但存在一个最优条件，即 Q c =Q 一 .在图 3d 中，我们给出了腔内光子数 n c 作为 δ 的函数 有两个不同的 J ，显然，在增加比率参数δ , 腔内光子数 n c 增加。当它达到给定 J 的最佳值时 ，然后 n c 减少。因此，控制腔体参数，如衰减率κ 或腔的品质因数，可以控制双稳态行为。

另一方面，作为一种典型的非线性光学现象，我们还研究了等式的 FWM 过程。 (14) 在光子分子光机械系统中。图 4 绘制了 FWM 谱作为探针腔 a 的函数 失谐Δ s =ω s -ω 一 在 Δ 一 =Δ c =0 在不同的参数制度下。图 4a-d 显示了不同泵浦功率 P 下的 FWM 光谱演变 在 J =1.0 κ 一 .很明显，FWM 谱呈现三个峰，其中 Δ 附近的洛伦兹峰 s =0 和两个模式分裂峰位于 ±ω 米 ，并且 FWM 强度随着泵浦功率的增加而降低。图 4e-h 显示了 FWM 光谱从 J 的变化 =0.5 κ 一 J =2.0 κ 一 在泵功率 P =1.0 毫瓦。随着耦合强度的增加J 来自 J =0.5 κ 一 J =2.0 κ 一 ，FWM 谱变化显着。这种现象可以用已在单腔光机械系统中证明的穿着状态图片来解释[51]。

一 –d FWM 强度作为归一化探针泵失谐 Δ 的函数 s 对于 J 下的不同泵浦功率 =1.0 κ 一 . e –h FWM 强度作为 Δ 的函数 s 对于不同的 J 在泵功率 P =1.0 毫瓦

然后我们研究了 Δ 处的 FWM 谱 一 =Δ c ≠0。图 5a-d 给出了红边带处的 FWM 光谱，即 Δ 一 =Δ c =ω 米 在不变的 J 下 =1.0 κ 一 随着从 P 增加泵浦功率 =1.0 到 P =10 毫瓦。 FWM 光谱中出现两个正常模式分裂峰，位于±ω 米 分别，并且 FWM 强度随着泵浦功率的增加而降低。图 5e-h 显示了红边带处的 FWM 光谱，即 Δ 一 =Δ c =ω 米 在固定泵浦功率P =2.0 mW 随着耦合强度的增加 J 来自 J =0.5 κ 一 J =2.0 κ 一 .显然，FWM强度随着耦合强度J的增加而增加 , 和更大的 J 意味着更多的光子数耦合到光腔 a .改变失谐Δ时 一 和Δ c 从红色边带到蓝色边带，即 Δ 一 =Δ c =−ω 米 ，FWM 谱的演变显着变化。图 5i-l 显示了四种不同泵浦功率下蓝色边带处的 FWM 光谱，即使在蓝色边带处，FWM 强度也随着泵浦功率的增加而降低。除了位于±ω的两个正常模式分裂峰 米 ，在 FWM 光谱中也出现了两个尖锐的边带峰，它们的位置与泵浦功率有关。在图 5m-p 中，我们还讨论了耦合强度 J 影响蓝色边带下的 FWM 光谱。 FWM谱中是否出现其他尖锐的边带峰取决于耦合强度J .

一 –d FWM 强度作为 Δ 的函数 s 对于不同的泵功率P 在红边带 (Δ c =Δ 一 =ω 米 ) 和 J =1.0 κ 一 . e –h FWM 强度作为 Δ 的函数 s 对于不同的 J 在红边带和泵浦功率下P =2.0 毫瓦。 我 –l FWM 强度作为 Δ 的函数 s 对于不同的泵功率P 在蓝色边带 (Δ c =Δ 一 =−ω 米 ) 和 J =1.0 κ 一 . 米 –p FWM 强度作为 Δ 的函数 s 对于不同的 J 在蓝色边带和泵浦功率下P =2.0 毫瓦

此外，由于比率参数δ =κ c /κ 一 可以影响复合光子分子 OMS 中的腔内光子数，可以通过控制参数 δ 来操纵 FWM 光谱 . Figure 6a–h presents the FWM spectra at unchanged parameters J =2.0 κ 一 and P =10 mW under the red sideband with increasing the ratio δ from δ =0.05 to δ =3.0, and the FWM intensity decreases with increasing the ratio δ . While in the blue sideband, other sharp sideband peaks will appear in the FWM spectra as shown in Fig. 6i–p, and the FWM intensity also decreases with increasing the ratio δ . Therefore, with controlling the cavity parameters, like the decay rate κ or the Q of the cavities, the FWM can achieve straightforward in the composite photonic-molecule OMS.

一 –h FWM intensity as a function of Δ s for several different ratio parameters δ at the red sideband (Δ c =Δ 一 =ω m ) and J =2.0 κ 一 , P =10 mW. i –p FWM intensity as a function of Δ s for several different ratio parameters δ at the blue sideband (Δ c =Δ 一 =−ω m ) and J =2.0 κ 一 , P =10 mW

结论

We have investigated the optical bistability and four-wave mixing in a composite WGM cavity photonic-molecule optomechanical system, which includes an optomechanical cavity with high-cavity dissipation coupled to an auxiliary cavity with high-quality factor. We investigate the optical bistability under different parameter regimes such as the coupling strength J between the two cavities and the decay rate ratio δ of the two cavities in the system. The optical bistability can be adjusted by the pump field driving the optomechanical cavity, and the intracavity photon number in the two cavities is determined by the coupling strength J . Further, we have also demonstrated how to control the FWM process in the photonic-molecule optomechanical system under different driving conditions (the red sideband and the blue sideband) and different parameter conditions (the coupling strength J and the ratio δ ）。 Numerical results show that the FWM process can be controlled with such parameters. These results are beneficial for better understanding the nonlinear phenomena in the composite photonic-molecule optomechanical system.

缩写

C-OMS:

Cavity optomechanics systems

FWM:

Four-wave mixing

OMS:

Optomechanics systems

OMIT:

Optomechanically induced transparency

Q:

Quality

V:

Volume

WGM:

Whispering gallery mode