光子分子腔光机系统中可调光学双稳态与四波混频研究

摘要

本文理论研究复合光子分子腔光机系统中的非线性光学现象，包括光学双稳态和四波混频（FWM）过程。光子分子腔由两个谐振腔模（WGM）微腔组成：一为高腔耗散κ的光机腔，另一为高品质因数（Q）的普通辅助光腔。通过控制系统参数——如两腔耦合强度J、两腔衰减率比δ、泵浦功率P——可调控光学双稳态。进一步研究了不同参数区域下FWM谱中呈现的正常模式劈裂。本工作为理解复合光子分子光机系统中的非线性现象提供了进一步洞见。

背景

光机系统（OMS）[1]由光腔与机械谐振子耦合构成，探索辐射压诱导的相干光子-声子相互作用，近年备受关注，因其为操控机械谐振子和电磁场提供平台，推动声子激光[2,3]、传感[4]、声子挤压[5]、挤压光实现[6–8]、基态冷却[9–11]、光机诱导透明（OMIT）[12–15]及固态器件存储光[16,17]等潜在应用。虽多关注单OMS，但整合更多光学或机械模式构建复合OMS——如单机械模式经辐射压耦合两光学模式[18,19]、两机械谐振子间声子相互作用[20,21]——成为深入研究OMS及其量子信息应用的趋势。基于复合OMS，量子态传输[22]、类OMIT声子冷却[23]、光机暗模式[24]、声子介导电磁感应吸收[25]等被广泛研究。在诸多复合OMS中，作为通用OMS自然延伸，两个直接耦合的WGM微腔称为光子分子[26,27]，其中一腔含光机效应，引起广泛关注。复合光子分子光机系统中存在两种相互作用：辐射压诱导的光机相互作用、及可调光子隧穿的腔-腔耦合。两者共同产生声子激光[2,3]、混沌[28]、基态冷却[23]、光传输相干控制[25,29,30]等现象。

另一方面，OMS也为研究光-物质相互作用非线性效应提供平台。在OMS所有非线性现象中，光学双稳态和四波混频（FWM）是研究者聚焦的典型非线性光学现象。近年，各类OMS中平均腔内光子数的双稳态行为被广泛研究，如玻色-爱因斯坦凝聚腔光机系统[31,32]、量子阱OMS[33]、超冷原子[34,35]及其他混合OMS[36,37]。此外，FWM描述为腔受强泵浦激光（频率ω_p）和弱探针激光（频率ω_s）驱动，两个泵浦光子经机械模式与一个探针光子混频产生闰光子（频率2ω_p–ω_s），此前在强耦合光机系统[38]、相干机械驱动OMS[39,40]、双模腔光机系统[41]等中均有研究。然而，复合光子分子OMS中光学双稳态与FWM鲜有研究，而两腔耦合强度J对这些非线性现象起关键作用。

本文考虑复合光子分子腔光机系统，由两WGM微腔组成：一为高腔耗散κ的光机腔c，另一为高品质因数（Q）的辅助普通光腔a[42]。Liu等[43]指出，同类谐振器难以同时实现高Q和小模式体积（V）。光子分子光机学中，将原本高耗散的光机腔c与高Q但大V的辅助腔模a耦合，可消除同一腔对高Q和小V的同时要求。引入比率参数δ=κ_c/κ_a（κ_c=ω_c/Q_c，κ_a=ω_a/Q_a为腔模c、a衰减率，ω_c、ω_a为频率），研究光子分子光机学中的非线性效应。光机腔c由泵浦激光驱动，辅助腔a由探针激光驱动。腔c通过倏逝场耦合腔a，耦合强度J可通过改变两WGM腔间距控制[26]。我们基于复合光子分子OMS研究光学双稳态和FWM，通过调节两腔耦合强度J实现可调、可控的光学双稳态和FWM。进一步调整参数δ和泵浦功率P，可控制FWM过程。

模型与理论

光子分子光机学示意如图1。第一腔支持频率ω_c的光学模式c，由频率ω_p、振幅ε_p=√(P/ħω_p)的泵浦激光驱动。辐射压诱导频率ω_m的机械模式b，单光子光机耦合率g=g₀x₀（g₀=ω_c/R，R为腔c半径），机械振子位置零点涨落x₀=√(ħ/2Mω_m)[13]。光机腔c哈密顿量为[13]

复合光子分子腔光机系统示意图，包含两WGM腔。高腔耗散κ的第一WGM腔为光机腔c，受泵浦激光驱动，辐射压力诱导机械模式b与腔c耦合，耦合强度g。第二WGM腔a为高品质因数（Q）的辅助腔，受探针激光驱动。光机腔c经倏逝场耦合腔a，引入参数J描述两腔耦合强度，可通过改变两腔间距控制[26]

$$ H_{c}=\hbar \Delta_{c}c^{\dag }c+\hbar \omega_{m}b^{\dag }b-\hbar ga^{\dag }a\left(b^{\dag }+b\right)+i\hbar \sqrt{\kappa_{ce}}\varepsilon_{p}\left(c^{\dag }-c\right), \tag{1} $$

其中Δ_c=ω_c–ω_p为泵浦场与腔c失谐。c、c†为腔模c的玻色湮灭和产生算符，b†（b）为机械模式产生（湮灭）算符。辅助腔仅支持频率ω_s探针激光驱动的光学模式a，振幅ε_s=√(P_s/ħω_s)。引入湮灭和产生算符a、a†描述腔a，其哈密顿量为[13]

$$ H_{a}=\hbar \Delta_{a}a^{\dag }a+i\hbar \sqrt{\kappa_{ae}}\varepsilon_{s}\left(a^{\dag }e^{-i\Omega t}-ae^{i\Omega t}\right) \tag{2} $$

其中Δ_a=ω_a–ω_p为泵浦场与腔a失谐，Ω=ω_s–ω_p为泵浦-探针失谐。用两拉锥光纤分别耦合腔模a和c作为光波导，耦合率为κ_ae和κ_ce。光机腔c经倏逝场耦合腔a，腔-腔耦合率J可通过改变两腔距离高效调控[26]。当J弱时，腔c能量难以转移至腔a；反之J增大（两腔距离减小）则能量易在两腔间流动。两腔线性耦合相互作用描述为[26] ħJ(a†c+ac†)。泵浦频率ω_c旋转波系下总哈密顿量可写为[3,13,23]

$$ \begin{aligned} H =&\hbar \Delta_{a}a^{\dag }a+\hbar \Delta_{c}c^{\dag }c+\hbar \omega_{m}b^{\dag }b+\hbar J\left(a^{\dag }c+ac^{\dag }\right)-\hbar ga^{\dag }a\left(b^{\dag }+b\right) \\ &+i\hbar \sqrt{\kappa_{ce}}\varepsilon_{p}\left(c^{\dag }-c\right)+i\hbar \sqrt{ \kappa_{ae}}\varepsilon_{s}\left(a^{\dag }e^{-i\Omega t}-ae^{i\Omega t}\right). \end{aligned} \tag{3} $$

两腔模式衰减率κ=κ_c=κ_a=κ_ex+κ_0，κ_0为本征光子损耗率，κ_ex描述能量从光腔泄漏至传播场[13]。为简化，仅考虑κ_ex=κ_0=κ_ae=κ_ce，且ω_c=ω_a。

使用海森堡运动方程iħ∂_tO=[O,H]（O=a,c,X）并引入相应阻尼与噪声算符，得到量子朗之万方程：

$$ \partial_{t}a=-(i\Delta_{a}+\kappa_{a})a-iJc+\sqrt{\kappa_{ae}} \varepsilon_{s}e^{-i\Omega t}+\sqrt{2\kappa_{a}}a_{\text{in}}, \tag{4} $$ $$ \partial_{t}c=-(i\Delta_{c}+\kappa_{c})c+igcX-iJa+\sqrt{\kappa_{ce}} \varepsilon_{p}+\sqrt{2\kappa_{c}}c_{\text{in}}, \tag{5} $$ $$ \partial_{t}^{2}X+\gamma_{m}\partial_{t}X+\omega_{m}^{2}X=2g\omega_{m}c^{\dagger }c+\xi, \tag{6} $$

其中X=b†+b为位置算符，γ_m为谐振子衰减率。a_in、c_in描述的朗之万噪声满足[45]

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} \left\langle a_{\text{in}}(t)a_{\text{in}}^{\dagger }\left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle &=&\left\langle c_{\text{in}}(t)c_{\text{in}}^{\dagger }\left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle =\delta\left(t-t^{^{\prime }}\right), \end{array} \tag{7} $$ $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \left\langle a_{\text{in}}(t)\right\rangle &=&\left\langle c_{\text{in}}(t)\right\rangle =0. \end{array} \tag{8} $$

谐振子模式受随机力过程影响，相关函数为[46]

$$ \left\langle \xi^{\dagger }(t)\xi \left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle \,=\,\frac{ \gamma_{m}}{\omega_{m}}\int\! \frac{d\omega }{2\pi }\omega e^{-i\omega \left(t-t^{^{\prime }}\right)}\left[1\,+\,\coth \left(\frac{\hbar \omega }{2\kappa_{B}T}\right)\right], \tag{9} $$

其中k_B为玻尔兹曼常数，T为储库温度。

当光机腔c受强泵浦激光驱动，海森堡算符可分为稳态平均值O₀和零均值小涨落δO。稳态值决定腔内光子数（n_a=|a_s|²、n_c=|c_s|²），由下式决定

$$ n_{c}=\frac{\kappa_{ce}\varepsilon_{p}^{2}\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right) }{\left(\Delta^{^{\prime }2}+\kappa_{c}^{2}\right)\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right)+2J^{2}\left(\kappa_{a}\kappa_{c}-\Delta^{^{\prime }}\Delta_{a}\right)+J^{4}}, \tag{10} $$ $$ n_{a}=\frac{\kappa_{ce}\varepsilon_{p}^{2}J^{2}}{\left(\Delta^{^{\prime }2}+\kappa_{c}^{2}\right)\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right)+2J^{2}\left(\kappa_{a}\kappa_{c}-\Delta^{^{\prime }}\Delta_{a}\right)+J^{4}}, \tag{11} $$

其中Δ'=Δ_c–2g²n_c/ω_m。此耦合方程形式即为光学双稳态特征。下节将讨论泵浦功率P、腔-腔耦合强度J、比率参数δ等影响光学双稳态的参数。保留涨落算符线性项并作ansatz[47] ⟨δa⟩=a_+e^{−iΩt}+a_−e^{iΩt}，⟨δc⟩=c_+e^{−iΩt}+c_−e^{iΩt}，⟨δX⟩=X_+e^{−iΩt}+X_−e^{iΩt}，可得

$$ a_{-}=\frac{\Lambda_{1}}{\Lambda_{2}-\Lambda_{3}}, \tag{12} $$

其中Λ₁=igc_s²η*J²ε_s√κ_ae，Λ₂=(iΔ_a2+κ_a)(iΔ_2+κ_c)[(iΔ_1−κ_c)(iΔ_a1−κ_a)−J²]，Λ₃=−g²η*²n_c²(iΔ_a1−κ_a)(iΔ_a2+κ_a)，Δ_a1=Δ_a−Ω，Δ_a2=Δ_a+Ω，Δ_1=Δ'−Ω+gηn_c，Δ_2=Δ'+Ω+gη*n_c，η=2gω_m/(ω_m²−iγ_mΩ−Ω²)。利用标准输入-输出关系[45] a_out(t)=a_in(t)−√(2κ_a)a(t)，a_out(t)为输出场算符，得输出场期望值：

$$ {\begin{aligned} a_{\text{out}}(t)&=(\varepsilon_{p}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{s})e^{-i\omega_{p}t}+(\varepsilon_{s}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{+})e^{-i(\delta +\omega_{p})t}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{-}e^{-i(\delta -\omega_{p})t} \\ &=(\varepsilon_{p}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{s})e^{-i\omega_{p}t}+(\varepsilon_{s}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{+})e^{-i\omega_{s}t}-\sqrt{\kappa_{ae}} a_{-}e^{-i(2\omega_{p}-\omega_{s})t} \end{aligned}} \tag{13} $$

式(13)显示输出场含三项。第一项对应驱动场（振幅ε_p、频率ω_p）。第二项对应探针场（频率ω_s），关联反斯托克斯场导致OMIT，已在多种光机系统中研究[12–15,48]。最后一项对应频率2ω_p−ω_s的输出场，关联斯托克斯场显示FWM。FWM过程中，两个驱动场光子各频率ω_p、ω_s与一个探针光子相互作用生成新光子（频率2ω_p−ω_s）。以探针场为基准的FWM强度定义为[49]

$$ \text{FWM}=\left\vert \frac{\sqrt{\kappa_{ae}}a_{-}}{\varepsilon_{s}}\right\vert^{2}\text{，} \tag{14} $$

其由光机耦合强度g、泵浦功率P、腔-腔耦合强度J、两腔衰减率比δ决定。

数值结果与讨论

本节首先按式(10)、(11)研究两腔稳态光子数n_c、n_a的双稳态行为。因双稳态条件解析表达式过于繁琐，此处给出数值结果。参数选取类似文献[13,26]：腔c参数[13]：g₀=12 GHz/nm，γ_m=41 kHz，ω_m=51.8 MHz，κ_c=5 MHz，m=20 ng，λ=750 nm，Q=1500，泵浦功率数量级为毫瓦（1 mW=10⁻³ W）。腔a取ω_a=ω_c、κ_c=κ_a。两腔模式耦合强度J起关键作用，影响双稳态和FWM。实验报道J依赖于腔c与腔a距离[26]（耦合强度随距离增加指数衰减）。此处预期J∼√(κ_cκ_a)。

式(10)、(11)给出的光机腔c和普通腔a腔内光子数为耦合三次方程，表现出双稳态行为。先考虑J=0即单光机腔c情况，图2a绘制三泵浦功率下光机腔c平均腔内光子数n_c随腔-泵浦失谐Δ_c=ω_c−ω_p变化。泵浦功率

a J=0时光机腔c平均腔内光子数随腔-泵浦失谐Δ_c变化（三泵浦功率）。b J=1.0 κ_a下光机腔c平均腔内光子数随Δ_c变化（若干泵浦功率）。c 光机腔c平均腔内光子数n_c随J变化（三泵浦功率）。d Δ_c=Δ_a=ω_m下n_c随P变化

进一步按式(11)研究普通腔a双稳态行为。图3a给出J=1.0 κ_a下普通腔a平均腔内光子数n_a随腔-泵浦失谐Δ_a=ω_a−ω_p变化（泵浦功率P=0.1、1.0、10 mW）。显然光腔a因从腔c耦合来的n_a在低泵浦功率下无法维持双稳态。实际仅高泵浦功率P驱动光机腔c，更多光子耦合入光腔a时，腔a才呈现双稳态。图3b绘制三泵浦功率下n_a随J变化。J=0时n_a=0，因两腔无耦合。随J增加（两腔距离减小[26]），n_a增加但非单调。不同泵浦功率下存在最优J使n_a最大，随后随J增大而减小。值得注意的是两腔耦合强度J可调[26]。

a J=1.0 κ_a下普通腔a平均腔内光子数随Δ_a变化（三泵浦功率）。b 普通腔a平均腔内光子数n_a随J变化（三泵浦功率）。c 光机腔c平均腔内光子数n_c随Δ_c变化（三比率参数δ）。d 光机腔c平均腔内光子数n_c随δ变化（两J值）

此外，引入比率参数δ=κ_c/κ_a（κ_c=ω_c/Q_c，κ_a=ω_a/Q_a）研究两腔参数对双稳态的影响。κ为腔模式衰减率，关联腔频率和品质因数。众所周知，受衍射极限制约，单一腔模式难以同时实现高Q和小V。光腔小V对应大辐射衰减率导致低Q。虽不同腔类型各有特性，但高Q与小V的权衡始终存在。然而，将原本高耗散OMS c耦合至高Q大V的辅助腔模a，双稳态行为将显著改变。图3c展示J=1.0 κ_a不变下，若干δ=κ_c/κ_a条件下光机腔c平均腔内光子数n_c随Δ_a变化。发现δ=0.1、J=2 κ_a时（即κ_c=0.1 κ_a，意味着Q_c>Q_a）可出现双稳态，但n_c较小。随δ从1.0增至2.0，n_c经历从双稳态到近洛伦兹线型的变化。即Q_c

另一方面，作为典型非线性光学现象，我们也按式(14)研究光子分子光机系统中的FWM过程。图4绘制Δ_a=Δ_c=0下不同参数区域FWM谱随探针-腔a失谐Δ_s=ω_s−ω_a变化。图4a–d显示J=1.0 κ_a下不同泵浦功率P下FWM谱演化。清晰可见FWM谱呈三峰：Δ_s=0附近洛伦兹峰，两模式劈裂峰位于±ω_m，且FWM强度随泵浦功率增加而降低。图4e–h显示P=1.0 mW固定下J从0.5 κ_a增至2.0 κ_a时FWM谱变化。随J增加，FWM谱显著变化。可用单腔光机系统已证实的着态图景解释[51]。

a–d J=1.0 κ_a下不同泵浦功率FWM强度随归一化探针-泵浦失谐Δ_s变化。e–h P=1.0 mW下不同J时FWM强度随Δ_s变化

进而研究Δ_a=Δ_c≠0时FWM谱。图5a–d给出红侧带（Δ_a=Δ_c=ω_m）下J=1.0 κ_a不变、泵浦功率从1.0增至10 mW时FWM谱。FWM谱中出现两正常模式劈裂峰，分别位于±ω_m，FWM强度随泵浦功率增加而降低。图5e–h显示红侧带下固定P=2.0 mW、J从0.5 κ_a增至2.0 κ_a时FWM谱。显然FWM强度随J增加而增大，更大J意味更多光子耦合入光腔a。将失谐Δ_a、Δ_c从红侧带变为蓝侧带（Δ_a=Δ_c=−ω_m），FWM谱演化显著变化。图5i–l显示蓝侧带下四不同泵浦功率FWM谱，FWM强度随泵浦功率增加而降低。除±ω_m处两正常模式劈裂峰外，FWM谱中还出现两尖锐侧带峰，其位置与泵浦功率相关。图5m–p讨论蓝侧带下J对FWM谱的影响，其他尖锐侧带峰是否出现取决于耦合强度J。

a–d 红侧带（Δ_c=Δ_a=ω_m）下J=1.0 κ_a、不同泵浦功率P的FWM强度随Δ_s变化。e–h 红侧带下P=2.0 mW固定、不同J的FWM强度随Δ_s变化。i–l 蓝侧带（Δ_c=Δ_a=−ω_m）下J=1.0 κ_a、不同泵浦功率P的FWM强度随Δ_s变化。m–p 蓝侧带下P=2.0 mW固定、不同J的FWM强度随Δ_s变化

进一步，因比率参数δ=κ_c/κ_a影响复合光子分子OMS腔内光子数，通过控制δ可操纵FWM谱。图6a–h展示J=2.0 κ_a、P=10 mW不变、红侧带下δ从0.05增至3.0时FWM谱，FWM强度随δ增加而降低。蓝侧带下如图6i–p所示，FWM谱中出现其他尖锐侧带峰，FWM强度亦随δ增加而降低。因此，通过控制腔参数如衰减率κ或品质因数Q，可在复合光子分子OMS中直接实现FWM控制。

a–h 红侧带（Δ_c=Δ_a=ω_m）下J=2.0 κ_a、P=10 mW、若干δ的FWM强度随Δ_s变化。i–p 蓝侧带（Δ_c=Δ_a=−ω_m）下J=2.0 κ_a、P=10 mW、若干δ的FWM强度随Δ_s变化

结论

我们研究了包含高腔耗散光机腔与高品质因数辅助腔的复合WGM腔光子分子光机系统中的光学双稳态和四波混频。在不同参数区域（两腔耦合强度J、两腔衰减率比δ）下考察了光学双稳态。光学双稳态可通过驱动光机腔的泵浦场调节，两腔腔内光子数由耦合强度J决定。进一步，我们在不同驱动条件（红侧带、蓝侧带）和不同参数条件（耦合强度J、比率δ）下演示了如何控制光子分子光机系统中的FWM过程。数值结果表明FWM过程可通过上述参数控制。这些结果有助于更好理解复合光子分子光机系统中的非线性现象。

缩略语

C-OMS

腔光机系统

FWM

四波混频

OMS

光机系统

OMIT

光机诱导透明

Q

品质因数

V

模式体积

WGM

谐振腔模