SPICE，即集成电路仿真程序，旨在模拟模拟电子电路，特别是 IC 设计。 其渊源可追溯至 CANCER，这是 UC Berkeley 的 Ronald Rohrer 教授及其学生在 1960 年代末构建的电路仿真器。经 1970 年代初持续改进，Rohrer 重构代码并重命名为 SPICE。版本 1 于 1972 年 5 月发布为公共领域软件。 1975 年推出 SPICE 2。本书使用的 2g6 版是该版本的小幅更新。将 SPICE 开放为公共领域由 Donald Pederson 教授倡导，他认为科学进步依赖开放知识。 1985 年 3 月迎来关键升级：SPICE 3 以 C 语言重写（

“使用 Electronics Workbench，你可以绘制与纸面完全一致的电路原理图——还能合上电源开关让原理图像真实电路一样运行。而其他电子仿真器可能要求你以文本文件形式输入 SPICE 节点列表——这是一种超出除资深电子工程师外所有人能力的抽象电路表示。” ——（Electronics Workbench 用户指南——第 4 版，第 7 页） Electronics Workbench：电路设计的图形界面 Electronics Workbench (EW) 让用户绘制原理图并在图形窗口即时看到仿真结果。它是教学和快速原型的强大工具，但有显著局限。因程序将绘图转为 SPICE 输入，复

与解为单个数值的代数方程不同，微分方程的解是一个函数。方程至少包含一个未知函数的导数，使函数的变化率成为关系的核心组成部分。 求解微分方程时，解集常含任意常数，类似于原函数中的积分常数。这组解称为 通解。为常数选取特定值可得到该族中的单个成员，称为 特解。进行微分或积分运算的变量称为 自变量。更多详情见 维基百科：微分方程。

探索定积分核心概念，以及微积分基本定理如何将积分与微分联系起来。下方视觉辅助图示说明关键思想。 相关工作表： 电路微积分工作表

常数法则 和法则 差法则

注意：这是 e 的一个非常独特且有用的性质。正如导数的情况，此类函数的原函数仍是其本身。在原函数情况下，末尾需加上常数项 “c”。

下表列出积分学中常用的原函数公式供快速参考。 这些公式是解决物理、工程、经济学中积分问题的必备工具。

注意一个重要点：对 f(x) 求导可能精确得到 g(x)，但对 g(x) 求原函数不一定能还原 f(x) 的原始形式。例如： 常数 c 是未知的！原函数 f(x) 可能是 3x2 + 5、3x2 + 10、3x2 + 任意值，其导数仍是 6x。因此，求原函数比求导数更不确定。 相关工作表： 电路微积分工作表

本指南提供基本求导法则的简明概览，配以清晰图示强化理解。 常数法则 对常数求导，结果为零。 和法则 和的导数等于导数之和。 差法则 差的导数等于导数之差。 乘积法则 两函数乘积的导数为 f·g + f·g。 商法则 两函数商的导数为 (f·g – f·g)/g²。 幂法则 函数 f(x)=xⁿ 的导数为 n·xⁿ⁻¹。 复合函数求导 对复合函数求导，应用链式法则。 相关工作表： 电路微积分工作表

三角函数导数是微积分的基石，能精确建模物理、工程、金融中的振荡现象。掌握这些导数让学生具备解决实际问题的工具——从波动力学到交流电路。 关键导数： sin x 的导数是 cos x cos x 的导数是 -sin x tan x 的导数是 sec² x csc x 的导数是 -csc x cot x sec x 的导数是 sec x tan x cot x 的导数是 -csc² x 示例：求 f(x) = sin (3x) 的导数。用链式法则，f′(x) = 3 cos (3x)。 配合可下载工作表练习，含分步解析与实际应用。 相关工作表： 电路微积分工作表

e 的导数示例 比例常数 当我们说某种关系或现象是“指数的”，意味着某量的变化率与该量本身成正比。因此，指数函数的导数等于原函数乘以一个常数（k），该常数代表此比例关系。 $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = k a^x$$ 比例常数即底数的自然对数： $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = \ln(a)\times a^x$$ 当底数为自然数 e 时，ln(e) = 1，故 e^x 的导数即其本身： $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x = e^x$$ “链式”法则 若指数为更复杂的表达式，应用链式法则：对

掌握常见导数 理解导数是微积分的基石，也是工程师、科学家和数学家的必备技能。本简明指南梳理最常遇到的求导法则，配以清晰示例，并提供实用工作表巩固知识。 基本求导法则 幂法则： d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹ 常数倍法则： d/dx c·f(x) = c·f′(x) 和与差法则： d/dx [f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x) 乘积法则： d/dx [f(x) g(x)] = f′(x) g(x) + f(x) g′(x) 商法则： d/d

对常数值（记为 c）求导，结果恒为零。这是微分学的基石法则，广泛应用于工程、物理和数学。 数学表达为： \frac{d}{dx}\,c = 0 因为常数不随自变量 x 变化而变化，其变化率（导数）为零。无论常数数值为 5、–3.14 还是 106，此规则均成立。 实际应用中，此规则简化许多微积分问题。例如求 f(x) = 7x + 4 的导数，常数 4 单独处理：导数为 f(x) = 7 + 0 = 7。 关键要点： 任意常数的导数均为零。 仅函数中依赖变量的部分贡献导数。 此规则对表达式中任何形式的常数均适用。 进一步练习请尝试： 电路微积分工作表

极限构成微积分的脊梁，使函数在输入趋近特定值时能被精确求值。掌握基础法则对于攻克导数、积分、微分方程等进阶主题至关重要。 本指南回顾最常用的极限法则——常数法则、和/差法则、积法则、商法则及强有力的夹逼定理——提供清晰示例与分步推理。 此外推荐 电路微积分工作表，通过将这些法则应用于实际工程问题进行实操练习。 相关工作表： 电路微积分工作表

双曲函数 双曲函数——sinh、cosh、tanh、coth、sech 和 csch——镜像了圆周三角函数的性质，但由指数表达式定义。它们在复分析、微分方程和工程设计等领域至关重要。 角度单位：所有自变量（x）必须用弧度表示。一周包含 2π 弧度，等于 360°。 延伸阅读请参考标准教材如 Patrick M. Fitzpatrick 著《高等微积分》或 维基百科双曲函数条目。

概述 三角恒等式——常称三角恒等变换——是解方程、化简表达式、在数学、物理和工程中建模现实现象的基石。掌握这些关系能提供高阶课程和专业应用所需的分析工具箱。 核心恒等式家族 倒数恒等式 —— csc θ = 1/sin θ，sec θ = 1/cos θ，cot θ = 1/tan θ 勾股恒等式 —— sin²θ + cos²θ = 1，1 + tan²θ = sec²θ，1 + cot²θ = csc²θ 余角恒等式 —— sin(90°−θ) = cos θ，tan(90°−θ) = cot θ 等 和差角恒等式 —— sin(A±B) = sinA cosB ± cosA sinB

欢迎阅读这份简明指南，介绍两大基石三角恒等式，助你求解任意三角形——无论是否为直角。这些定理是几何问题求解的核心，广泛应用于工程、导航等领域。 正弦定理 正弦定理指出：对于任意三角形 ABC，边长与其对角正弦的比值为常数： 正弦定理：a / sin A = b / sin B = c / sin C 适用于已知两角一边（AAS 或 ASA），或两边一非夹角（SSA）。也有助于解决实际应用中的模糊情况。 余弦定理 当已知两边夹角（SAS）或三边（SSS）时，余弦定理可求出缺失的边或角。公式为： 余弦定理：c² = a² + b² − 2ab·cos C 当角为 90° 时退化为熟悉的

直角三角形包含一个直角（90°）。 三角恒等式 标准记法中，斜边（H）总是对着直角。对于给定的锐角 x，其对边记为 O，邻边记为 A。 反三角函数——arcsin、arccos 和 arctan——从比值返回角度。例如，因为 tan 45° = 1，所以 arctan 1 = 45°。 这些“反”函数在已知边长求直角三角形角度时不可或缺。 勾股定理 根据标准几何教材，勾股定理指出：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和：H² = O² + A²。 相关工作表： 交流电路三角学工作表

什么是联立方程与方程组？ 联立方程 和 方程组 指的是两个或多个未知变量通过相同数量的方程相互关联的条件。 示例： 对于这组方程，只有一组 x 和 y 的值能同时满足两个方程。 单独考虑任一方程，都有无数个有效的 (x,y) 解，但 联合起来 只有唯一解。在图上这变得显而易见： 每条线实际上是一个连续体，代表各自方程可能的 x 和 y 解对。两条线性函数 x + y = 24 和 2x - y = -6 只有一个交点，即 x = 6，y = 18。 通常绘图不是求解两个或更多方程联立解集的有效方法，尤其对于三个或更多变量的系统更不切实际。三变量系统的解是三维坐标空间中三个平面的交点——难以

什么是阶乘？ 阶乘是一种数学运算，用正整数后的感叹号“!”表示。它代表该整数与其下方所有正整数连乘直到 1 的乘积。 如何计算阶乘 例如，5 的阶乘计算如下： 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 特殊情况 有两个常被强调的特殊值： 0! = 1 —— 按照约定，零的阶乘定义为 1。 1! = 1 —— 因为单个整数的乘积是它本身，所以 1! 等于 1。 阶乘的应用 阶乘在组合数学、概率论和微积分中至关重要，特别是在级数展开和伽马函数的定义中。 延伸学习 在我们的 相量数学工作表 中探索相关数学概念。 更多详情请参阅 维基百科：阶乘。